Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt

Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}R$-Moduln.

1. Die Abbildung

   $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n},$

   ist ${}R$-multilinear.

2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}R$-Modul und

   $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

   eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}R$-lineare Abbildung

   ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W$

   mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen