Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis2

Beweis

Nach Definition ist

$x^{\alpha }=\exp (\alpha \ln x).$

Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt und Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich

$\left(x^{\alpha }\right)=(\exp (\alpha \ln x))=\frac{\alpha }{x}\cdot \exp (\alpha \ln x)=\frac{\alpha }{x}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}.$

Zur bewiesenen Aussage