Prägarbe/Vergarbung/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Ein Element definiert ein Tupel , das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung

    Zu liegt das kommutative Diagramm

    vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.

  2. Wegen (1) und Fakt hat man eine natürliche Abbildung

    Zum Nachweis der Surjektivität sei gegeben, und sei repräsentiert durch . Dies wird in einer offenen Umgebung von durch ein Element

    repräsentiert. Dann ist der Keim direkt ein Urbild von .

    Zum Nachweis der Injektivität seien mit gegeben. Wir können annehmen, dass und als Schnitte von auf der gleichen offenen Menge gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge mit

    gibt. Dann ist insbesondere .

  3. Es sei

    eine offene Überdeckung und seien Schnitte mit für alle . Dann gilt insbesondere

    für jeden Punkt , da ja jeder Punkt in einem der enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung.

    Seien nun Schnitte

    mit gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt einen eindeutigen Keim gibt, der durch eines der festgelegt ist. Das Tupel , erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.

  4. Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus

    der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.

  5. Siehe Aufgabe.
Zur bewiesenen Aussage