Prägarbe/Vergarbung/Fakt/Beweis

Beweis

1. Ein Element ${}s\in {\mathcal {F}}(U)$ definiert ein Tupel ${}s_{P},P\in U$, das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung

   $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U).$

   Zu ${}V\subseteq U$ liegt das kommutative Diagramm

   ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&\prod _{P\in V}{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.

2. Wegen (1) und Fakt hat man eine natürliche Abbildung

   ${\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}.$

   Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}s\in {\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}$ gegeben, und ${}s$ sei repräsentiert durch ${}s'\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U)$. Dies wird in einer offenen Umgebung ${}V\subseteq U$ von ${}P$ durch ein Element

   ${}s^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\,$

   repräsentiert. Dann ist der Keim ${}s_{P}^{\prime \prime }\in {\mathcal {F}}_{P}$ direkt ein Urbild von ${}s$.

   Zum Nachweis der Injektivität seien ${}s,t\in {\mathcal {F}}_{P}$ mit ${}\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$ gegeben. Wir können annehmen, dass ${}s$ und ${}t$ als Schnitte von ${}{\mathcal {F}}$ auf der gleichen offenen Menge ${}U$ gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge ${}P\in V$ mit

   ${}(s_{Q})_{Q\in V}=(t_{Q})_{Q\in V}\,$

   gibt. Dann ist insbesondere ${}s_{P}=t_{P}$.

3. Es sei

   ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

   eine offene Überdeckung und seien ${}s,t\in \Gamma (U,{\widetilde {\mathcal {F}}})$ Schnitte mit ${}s{|}_{U_{i}}=t{|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$. Dann gilt insbesondere

   ${}s_{P}=t_{P}\,$

   für jeden Punkt ${}P\in U$, da ja jeder Punkt ${}P\in U$ in einem der ${}U_{i}$ enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung.

   Es seien nun Schnitte

   ${}s_{i}\in {\widetilde {\mathcal {F}}}(U_{i})\,$

   mit ${}{s_{i}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={s_{j}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt ${}P\in U$ einen eindeutigen Keim ${}s_{P}$ gibt, der durch eines der ${}s_{i}$ festgelegt ist. Das Tupel ${}s_{P},\,P\in U$, erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.

4. Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$

   der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.

5. Siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage