Prägarben/Halme/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

${}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$.

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt ${}s\in {\mathcal {F}}(U)$ und jedem Punkt ${}P\in U$ ein eindeutig definiertes Element ${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$, das der Keim von ${}s$ im Punkt ${}P$ heißt. Die Abbildung

${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P},\,s\longmapsto s_{P},$

heißt Restriktionsabbildung und wird mit ${}\rho _{U,P}$ bezeichnet. Zu ${}P\in V\subseteq U$ kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\rho _{U,V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {F}}(V)&\\&\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\searrow &\downarrow \rho _{V,P}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem topologischen Filter ${}F$ nennt man

${}{\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Filter ${}F$.