Beweis
Wir beweisen zuerst den Zusatz. Die Abbildung
-
ist
injektiv,
da für jede positive natürliche Zahl die Zweierpotenz , die sie teilt, und der ungerade komplementäre Teiler eindeutig bestimmt sind
(das
Bild
der Abbildung ist ).
Daher ist die Produktmenge nach
Fakt
abzählbar.
Für den allgemeinen Fall seien abzählbare Mengen
und
gegeben.
Wenn eine davon leer ist, so ist auch die Produktmenge leer und somit abzählbar. Es seien also
und
nicht leer und seien
und
surjektive
Abbildungen. Dann ist auch die
Produktabbildung
-
surjektiv. Nach der Vorüberlegung gibt es eine surjektive Abbildung
-
so dass es insgesamt eine surjektive Abbildung
gibt.