Produkt von abzählbaren Mengen/Abzählbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen zuerst den Zusatz. Die Abbildung

$\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶\mathbb{N},(k,\ell )⟼2^k(2\ell +1),$

ist injektiv, da für jede positive natürliche Zahl $n$ die Zweierpotenz $2^k$, die sie teilt, und der ungerade komplementäre Teiler eindeutig bestimmt sind (das Bild der Abbildung ist ${\mathbb{N}}_{+}$). Daher ist die Produktmenge nach Fakt abzählbar.
Für den allgemeinen Fall seien abzählbare Mengen $M_1$ und $M_2$ gegeben. Wenn eine davon leer ist, so ist auch die Produktmenge leer und somit abzählbar. Es seien also $M_1$ und $M_2$ nicht leer und seien ${\phi }_1:\mathbb{N}\to M_1$ und ${\phi }_2:\mathbb{N}\to M_2$ surjektive Abbildungen. Dann ist auch die Produktabbildung

$\phi ={\phi }_1\times {\phi }_2:\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶M_1\times M_2$

surjektiv. Nach der Vorüberlegung gibt es eine surjektive Abbildung

$\mathbb{N}⟶\mathbb{N}\times \mathbb{N},$

sodass es insgesamt eine surjektive Abbildung $\mathbb{N}\to M_1\times M_2$ gibt.

Zur bewiesenen Aussage