Produkt von abzählbaren Mengen/Abzählbar/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beweisen zuerst den Zusatz. Die Abbildung

ist injektiv, da für jede positive natürliche Zahl die Zweierpotenz , die sie teilt, und der ungerade komplementäre Teiler eindeutig bestimmt sind (das Bild der Abbildung ist ). Daher ist die Produktmenge nach Fakt abzählbar.
Für den allgemeinen Fall seien abzählbare Mengen und gegeben. Wenn eine davon leer ist, so ist auch die Produktmenge leer und somit abzählbar. Seien also und nicht leer und seien und zwei surjektive Abbildungen. Dann ist auch die Produktabbildung

surjektiv. Nach der Vorüberlegung gibt es eine surjektive Abbildung

so dass es insgesamt eine surjektive Abbildung gibt.

Zur bewiesenen Aussage