Projekt:Mathematik ist überall/Mengen

Ein Ei gleicht dem anderen? Sind sie nicht süß? „Ein Ei gleicht dem anderen“. Eine oft gehörte Aussage – und ein mathematisches Problem. Aus der erwähnten Feststellung folgt nämlich streng (mathematisch) genommen, dass die viel gescholtenen Legebatterien in Wirklichkeit „Legeakkumulatoren“ (lat. accumulare - ‘sammeln’) sind.

Sammlung oder Menge oder Kontinuum

Viele Hühner legen zwar eine Menge Eier, aber eben nicht im mathematischen Sinne. Weil die Eier einander gleichen sind sie nicht voneinander zu unterscheiden. Sie können nicht als Menge zusammengefasst werden. Ein echtes Problem für Mathematiker. Wie soll der Begriff für „viele Eier“ lauten? Es mag ungewohnt klingen, aber der gesuchte Begriff ist: „Vielheit“. Das ist die moderne Variante des Originals: „Mannigfaltigkeit“. Keines der beiden Wörter kann ohne große Probleme in andere Sprachen übersetzt werden, weshalb sich der Begriff „Sammlung“ durchsetzte. „Eine ‚Sammlung‘ (Vielheit, Mannigfaltigkeit) ist immer dann gegeben, wenn mehrere, nicht eindeutig zu unterscheidende, Elemente zusammengefasst werden.“ Menge mit unendlich vielen Elementen Rührei mit Beilage Warum diese Unterscheidung? Wenn zwei Eier (gleichzeitig) vorhanden sind, so ist das Unterscheidungsmerkmal der Ort. Würde dieses Unterscheidungskriterium entfernt, so ergäbe sich einfach Rührei. Die Menge Rührei enthielte nur ein Element, nämlich gerührtes Ei. Ganz einfach oder? Euklid von Alexandria Leider nicht! Aber Phantasie kann auch diese Einschränkung überwinden. Bereits vor beinahe 2400 Jahren schrieb Euklid von Alexandria in seinem Werk Elemente, dass ein Punkt keine Ausdehnung hat. Für Georg Cantor ergab sich damit folgende Überlegung: „Für eine Strecke werden zwei Punkte benötigt. Es gibt also mehr als einen Punkt in einem Bereich. Innerhalb eines Bereichs können sogar beliebig viele Punkte untergebracht werden, also auch unendlich viele.“ Georg Cantor Cantor stellte sich daraufhin die Frage: „Welche Ausdehnung muss ein Bereich mindestens haben, damit unendlich viele Punkte hineinpassen?“ Und er beantwortete sie mit: „Ganz offensichtlich kann der Bereich unendlich klein sein, denn wenn ein Punkt keine Ausdehnung hat, haben beliebig (unendlich) viele auch keine.“ Damit tauchte eine weitere Frage auf: „Sind jetzt die einzelnen Punkte noch voneinander zu unterscheiden?“ Die auch für Cantor verblüffende Antwort lautete: „Ja“. Der Abstand ergibt sich aus der Infinitesimalrechnung und ist unendlich klein, aber von Null verschieden. Damit bestand Übereinstimmung mit der Differentialrechnung.

Kontinuum mit noch mehr Elementen Cantor gab sich mit dieser Überlegung aber noch nicht zufrieden. Er machte einen weiteren Schritt. „Bereiche können beliebig oft in kleinere Bereiche unterteilt werden. Damit kann ein Bereich auch in unendlich viele Bereiche unterteilt werden, die unendlich viele Punkte enthalten. Auch dieser Bereich kann beliebig (unendlich) klein sein.“ In seiner Arbeit „Über unendliche lineare Punktmannichfaltichkeiten“ präzisierte Cantor die genannten Überlegungen und öffnete die Tür in ein neues Gebiet der Mathematik. Trotz einiger Ungereimtheiten – die denkbare "Menge aller Mengen" existiert nicht – hält die Mathematik an diesem Gebiet fest. Kein Geringerer als David Hilbert formulierte den entscheidenden Satz: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“ David Hilbert - "Über das Unendliche", Math. Ann. 95 David Hilbert Die Punkte liegen so dicht zusammen, dass der Übergang von einem zum anderen kontinuierlich erfolgt. Eine solche Menge wird als Kontinuum bezeichnet. Um eine Vorstellung von einem Kontinuum zu haben, braucht nicht lange gesucht zu werden. analoge Uhr Ein Blick auf die analoge Uhr genügt. Verbunden mit dem kindlichen Dialog: „Wann ist Mittag?“ „Wenn der große und der kleine Zeiger nach oben zeigen.“ Dann folgt die vernichtende Frage „Wie lange dauert Mittag?“ Denk nach! Das ist ein Kontinuum. Es verlangt eigene Vorstellungen und damit eigenständiges Denken. Es ist eben Mathematik. Noch ein wohlgemeinter Rat: Beantworten Sie die Frage mit äußerster Vorsicht! Die sich daraus ergebenden Folgerungen sind oft unabsehbar in ihren Auswirkungen auf den geplanten Tagesablauf.

Gibt es Denkverbote? „Die ‚Menge aller Mengen‘ ist denkbar, aber es gibt sie nicht.“ Eine Feststellung, die scheinbar im Widerspruch zur Mengenlehre steht. Was soll dieses Verbot? Ist damit vielleicht eine teuflische Menge, ähnlich der mittelalterlichen teuflischen Zahl Null, gemeint? Nein! Es ist viel einfacher. Die Formulierung der Division durch Null ist zwar möglich, es existiert aber kein Quotient als Ergebnis dieser Formulierung. „1 geteilt durch 0“ gibt’s nicht. Es ist einfach keine Zahl! Genau so ist es auch manchmal bei Mengen: Sonne „Die Menge aller (sichtbaren) Sonnen ist keine Sonne, sondern eine Galaxie.“ Andromeda-Galaxie   Galaxien „Die Menge aller Galaxien ist keine Galaxie, sondern das Universum.“ „Nah“blick ins Universum   „Fern“blick ins Universum „Die Menge aller Mengen ist keine Menge, sondern etwas wie „1 geteilt durch 0“. Es ist formulierbar und trotzdem existiert es nicht.“ ??? Der Garten Eden Es gibt noch weitere Ungereimtheiten in der jungen Mengenlehre. Hilberts oben beschriebener Aussage sollte zugestimmt werden, denn trotz Allem ist die Mengenlehre ein Garten Eden mit unendlich kleinen Bereichen, die zwar gefunden wurden, in die sich aber noch niemand hineingetraut hat.	Jede Menge Mengen Sie haben die Eigenschaft „endlich“, „abzählbar unendlich“ oder „überabzählbar unendlich“ zu sein. Die Bezeichnungen der Mathematiker sind zweifellos gewöhnungsbedürftig, aber irgendwie lustig. Es ist doch immer wieder spannend, herauszufinden, was sich hinter derartigen Begriffen verbirgt. Überraschend ist es, herauszufinden, dass diese Bezeichnungen auch noch zutreffend sind. Die Mengenlehre, also das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften und Zuordnungen von Mengen und den vorhandenen Elementen beschäftigt, ist unterteilt. Es gibt die naive Mengenlehre und die axiomatische Mengenlehre. Letztere ist richtig harter Stoff und wird deshalb ans Ende dieses Abschnitts gesetzt. Zunächst wird die naive Mengenlehre betrachtet, denn hier kann Mathematik anschaulich gemacht werden. Endliche Mengen Zählhilfe Die Mengen M = { a b Auto 97 3 } S = { 111 222 333 444 } sind endlich. Die erste enthält fünf, die zweite vier Elemente. Endliche Mengen enthalten also endlich viele Elemente. Damit gelten diese Mengen auch als abzählbar. Mathematiker scheinen viel Zeit zu haben. Es sind schon trickreiche Leute, denn eine mathematische Operation liefert das Ergebnis sofort; jedenfalls in der Vorstellungswelt von Mathematikern. Damit ist das Problem erledigt, denn die Operation zur Ermittlung der Elementanzahl ist natürlich vorhanden. Größe, Betrag, Mächtigkeit von Mengen Kreisverhältnisse Schreibweisen ersetzen in der Mathematik oft konkrete Angaben. Es ist unmöglich, den Zahlenwert des Verhältnisses von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser aufzuschreiben. Statt nun jedesmal „das Verhältnis von ...“ zu schreiben, wird einfach der griechische Buchstabe $\pi \$ - „pi“ benutzt. Ähnlich einfach wird auch das Zählen der Elemente formuliert. Die Bezeichnung der Menge wird einfach zwischen zwei senkrechte Striche gesetzt. |M| = 5 für M = { a b Auto 97 3 }; |S| = 4 für S = { 111 222 333 444 }; Diese Schreibweise |M| oder |S| meint also, dass die Größe einer Menge durch die Elementanzahl festgelegt ist. Die mathematische Umschreibung lautet: Betrag oder Mächtigkeit oder Kardinalität der Menge. Der Begriff Größe wird dagegen nicht verwendet, denn er ist bereits in irgendeiner anderen Disziplin belegt worden. Erzeugung von Mengen Bisher wurden Mengen nur im Kopf erzeugt. Es geht aber auch anders. So erzeugt jede Formel eine (Ergebnis)menge. Zum Beispiel erzeugt: x = 1 die Menge { 1 }, denn nur dann ist die Gleichung erfüllt. Die Menge { -1 1 } kann mit x² = 1 erzeugt werden. Die Erzeugung kann an Bedingungen geknüpft werden. So wird mit 2 $\cdot$ x = 1 und der Bedingung ganzzahlig die Menge {} erzeugt. Zwar hat die Gleichung eine Lösung, nämlich ½, aber die ist nicht ganzzahlig. Trotzdem wird eine Menge erzeugt – auch wenn sie kein Element enthält.
Unendliche Mengen erzeugen
Was wird gebraucht, um eine unendliche Menge zu erzeugen? – Nichts! Mathematisch betrachtet ist das „Nichts“ zunächst die leere Menge. Philosophisch gesehen ist das „Nichts“ bereits etwas – aber das sind sprachliche Feinheiten. Hier wird die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \$ erzeugt. ${\mathcal {N}}^{0}=\{\}\$ Der hochgestellte Index zeigt die jeweilige Generation. Die Startgeneration erhält den Index 0. Die Bezeichnung ${\mathcal {N}}\$ wird beibehalten, solange der Inhalt nicht allen natürlichen Zahlen entspricht. Weil Ergebnisse von Operationen auf Mengen stets wieder Mengen ergeben, wird die erste Generation so ermittelt: Man betrachtet zur Ausgangsmenge zusätzlich noch deren Mächtigkeit, was mathematisch folgendermaßen geschrieben wird: ${\mathcal {N}}^{1}={\mathcal {N}}^{0}\cup |{\mathcal {N}}^{0}|=\{\}\cup \{0\}=\{0\}\$ Der nächste Schritt besteht nun in der allgemeinen Anwendung der Generation. So ist es einfacher, die Generationen zu nummerieren. Das „g+1“ verdeutlicht genau die Folgegeneration, also die aktuelle Generation plus 1. ${\mathcal {N}}^{(g+1)}={\mathcal {N}}^{g}\cup |{\mathcal {N}}^{g}|\$	Mit jeder weiteren Generation kommt genau ein Element hinzu. Dieses Verfahren muss aber irgendwann abgeschlossen sein, denn die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar. In der Mathematik spielt es keine Rolle, dass unendlich oft weitergemacht werden muss. Es ist Georg Cantor zu verdanken, eine Formulierung für den Abschluss nach unendlich vielen Schritten zu haben. Die Mächtigkeit oder Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \$ ist zwar unendlich, hat aber einen Namen: $\aleph _{0}\$ (Aleph 0). Der Index 0 (Null) zeigt auch, dass es noch höhere Unendlichkeiten gibt. Doch ein wenig Geduld – das kommt noch. Zuerst mal der Abschluss nach unendlich vielen Schritten. $\mathbb {N} =\bigcup _{g=0}^{\aleph _{0}}\left({\mathcal {N}}^{g},|{\mathcal {N}}^{g}|\right)\,;\ {\mathcal {N}}^{0}=\{\}\$ Dieses Verfahren erinnert an die Peano Axiome, denn die jeweils hinzukommende Kardinalzahl entspricht dem vorangegangenen Element plus 1. Es ist der gleiche Zusammenhang aus Vorgänger und Nachfolger vorhanden.
Noch unendlichere Mengen erzeugen?
Können auch Mengen mit höherer Unendlichkeit erzeugt werden? Das ist zumindest vorstellbar, wenn ein paar mathematische Gegebenheiten beachtet werden. Zunächst muss ein Kriterium her, das eine höhere Unendlichkeit kennzeichnet. Die höhere Unendlichkeit hat den Namen $\aleph _{1}\$. Es ist die Kardinalzahl der ersten überabzählbar unendlichen Mengen. Cantor nannte sie das Kontinuum, um zu verdeutlichen, dass der Übergang von einem Element zum anderen „fließend“ (kontinuierlich) erfolgt. Eine bekannte Menge mit dieser Mächtigkeit sind die reellen Zahlen $\mathbb {R} \$. Um eine so große Mächtigkeit aus den natürlichen Zahlen zu erhalten, wird einfach deren Mächtigkeit über $2^{|\mathbb {N} |}\$ herangezogen. Diese Zweierpotenz ist auch die Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Diese Menge ist überabzählbar unendlich. Das Gesuchte Kriterium ist also $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}=2^{|\mathbb {N} |}\$ Das jetzt angewendete Verfahren erzeugt ebenfalls die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \$, jedoch wird die Mächtigkeit nun zu groß. Ein Widerspruch? Zumindest wird eine sog. Antinomie herbeigeführt. Damit ist keinesfalls ein Fehler nachgewiesen, sondern nur ein bislang nicht beschrittener Pfad. Den Anfang macht die erste Generation der im letzten Abschnitt erzeugten Mengen. Um die Namen zu behalten und trotzdem einen Unterschied zu haben, werden jetzt die Generationen unten indiziert. ${\mathcal {N}}_{1}=\{0\}\$ Es wird eine zweite Menge ${\mathcal {N}}^{\,'}\$ benötigt, die alle Elemente der ersten plus der Mächtigkeit enthält.	${\mathcal {N}}_{1}^{\,'}=\{0+|{\mathcal {N}}_{1}|\}=\{0+1\}=\{1\}\$ Die beiden Mengen ${\mathcal {N}}\$ und ${\mathcal {N}}^{\,'}\$ sind disjunkt (verschieden) und werden vereinigt zu ${\mathcal {N}}_{2}={\mathcal {N}}_{1}\cup {\mathcal {N}}_{1}^{\,'}=\{0\}\cup \{1\}=\{0\ 1\}\$ Damit ist die zweite Generation fertig. Soweit wenig Neues. Erst die dritte Generation lässt erahnen, worauf das Ganze hinausläuft. ${\mathcal {N}}_{2}^{\,'}=\{0+|{\mathcal {N}}_{2}|\ 1+|{\mathcal {N}}_{2}|\}=\{(0+2)\ (1+2)\}=\{2\ 3\}\$ ${\mathcal {N}}_{3}={\mathcal {N}}_{2}\cup {\mathcal {N}}_{2}^{\,'}=\{0\ 1\}\cup \{2\ 3\}=\{0\ 1\ 2\ 3\}\$ Noch eine Generation und aus der „Ahnung“ wird Gewissheit. ${\mathcal {N}}_{3}^{\,'}=\{(0+4)\ (1+4)\ (2+4)\ (3+4)\}=\{4\ 5\ 6\ 7\}\$ ${\mathcal {N}}_{4}={\mathcal {N}}_{3}\cup {\mathcal {N}}_{3}^{\,'}=\{0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\}\$ Die zweite Menge ${\mathcal {N}}^{\,'}\$ ist „die zweite Hälfte“ der nächsten Generation. Die Mächtigkeit verdoppelt sich so in jeder Generation. Wird dieses Verfahren genau so zum Abschluss gebracht wie beim Ersten, wird die letzte Generation aus der unteren und der oberen „Hälfte“ der natürlichen Zahlen vereinigt. So weit, so gut. Das eigentliche Problem besteht in der Mächtigkeit der erzeugten Mengen. Bereits bei der unteren Hälfte beträgt sie, wegen der Verdoppelung bei jeder Generation $2^{\aleph _{0}}\$. Diese Mächtigkeit ist bereits die eines Kontinuums. Sie entspricht auch der Mächtigkeit der überabzählbaren Potenzmenge von $\mathbb {N} \$. In jeden Fall müsste vorher mit dem Erzeugungsprozess aufgehört werden. Aber wann?
Der Weg zum Kontinuum
Die Bestimmung des letzten Schritts ist prinzipiell ganz einfach. Die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar. Damit können die Elemente also „durchnummeriert“ werden und die Nummer (Ordinalzahl) des letzten Elements entspricht dann auch der Mächtigkeit (Kardinalzahl) der Menge. Bei den jetzt folgenden „Berechnungen“ wird die Mächtigkeit als $\aleph \$ bezeichnet. Es ist nicht indiziert und darf deshalb nicht mit $\aleph _{0}\$ verwechselt werden. Es ist einfach eine „riesengroße“ Zahl – so gut wie $\infty \$, aber eben noch berechenbar. Das Ziele dieser Betrachtungen ist es, die Mächtigkeit der vorletzten Generation $\aleph \ -1$ so zu bestimmen, dass ihre Verdoppelung gerade noch kleiner als die Mächtigkeit des Kontinuums ist. $|{\mathcal {N}}_{(\aleph -1)}|<{\frac {2^{\aleph }}{2}}\$ Diese Relation kann zu einer Gleichung umgeformt werden. $|{\mathcal {N}}_{(\aleph -1)}|={\frac {2^{\aleph }}{2}}-1=2^{(\aleph -1)}-1\$	Die Mächtigkeit der letzten Generation ergibt sich einfach aus der Verdoppelung der eben gefundenen Mächtigkeit. $|{\mathcal {N}}_{(\aleph )}|=2\cdot \left(2^{(\aleph -1)}-1\right)=2^{\aleph }-2\$ Jetzt ist sicher, dass zwei Elemente fehlen. Es erscheint sinnlos, über diese Kleinigkeit nachzudenken, denn $\infty -2=\infty \$. Die Menge $\mathbb {N} \$ enthält aber Ordinalzahlen und wenn da welche fehlen ist Ordnung nicht mehr gewährleistet. Es bleibt nur, dieses Verfahren als denkbar in die Menge der Verfahren zur Erzeugung der natürlichen Zahlen aufzunehmen. Die Eigenschaft dieses Elements ist dann eben der nicht bestimmbare Abschluss. Offenbar ist Mächtigkeit allein nicht ausreichend, um eine überabzählbar unendliche Menge zu erhalten. Bei den natürlichen Zahlen ist das ja eigentlich auch ganz einfach nachzuvollziehen, denn die Abstände zwischen den Elementen sind immer gleich groß. Könnten die Abstände beliebig verkleinert werden, dann sollte es gehen. Das Kontinuum ist nah. Von hier aus kann es schon im Dunst der Mächtigkeiten ausgemacht werden.
Unendlich kleine Abstände
Eine Menge, die mit jedem Schritt ihrer Erzeugung die Abstände (Differenzen) zwischen seinen Elementen vermindert und außerdem noch wächst. Damit müsste das Kontinuum nach $\aleph _{0}\$ Schritten erreichbar sein. In diesem Fall werden die Abstände wohl „verschwinden“. Die gesuchte Menge ist die der rationalen Zahlen $\mathbb {Q} \$. Hier besitzen je zwei benachbarte Elemente die Eigenschaft, dass sich zwischen ihnen noch unendlich viele weitere finden lassen. Dann sind die beiden Elemente auch nicht benachbart! Dann gibt es überhaupt keine benachbarten Elemente! Tatsächlich folgen diese beiden Schlüsse aus der geschilderten Eigenschaft von $\mathbb {Q} \$. Deshalb wird die Menge auch erzeugt. Um es noch „einfacher“ zu machen, wird nur der Wertebereich [0, 1] benutzt und die Elemente sind stets teilerfremd. Das Erzeugungsverfahren ist genau in diesem für die Wikiversity aufbereitete Beitrag dargelegt. Hier genügt es, das Prinzip darzustellen. Den Anfang bildet eine Menge ${\mathbb {W} }_{1}\$ mit den beiden Intervallgrenzen: ${\mathbb {W} }_{1}=\left\{{\frac {0}{1}}\ {\frac {1}{1}}\right\}\$ Nun werden die beiden Zähler und die beiden Nenner addiert und der neue Bruch zwischen die beiden vorhandenen gestellt. Dieser Vorgang wiederholt sich für alle benachbarten Elemente, bei jeder weiteren Generation. ${\mathbb {W} }_{2}=\left\{{\frac {0}{1}}\ {\frac {1}{2}}\ {\frac {1}{1}}\right\}\,;\ {\mathbb {W} }_{3}=\left\{{\frac {0}{1}}\ {\frac {1}{3}}\ {\frac {1}{2}}\ {\frac {2}{3}}\ {\frac {1}{1}}\right\}\ ...\$ Es zeigt sich, dass die Abstände zwischen benachbarten Elementen immer kleiner werden. In der folgenden Berechnung des Abstands d ist der Index i die Ordinalzahl des gößeren Elements von dem der Vorgänger abgezogen wird.	$d={\frac {z_{i}}{n_{i}}}-{\frac {z_{(i-1)}}{n_{(i-1)}}}={\frac {1}{n_{i}\cdot n_{(i-1)}}}\$ Wird diese Berechnung für ein i mit einer „riesengroßen“ Zahl als Nenner – so gut wie $\infty \$ – durchgeführt, ergibt sich beinahe $d={\frac {1}{\infty ^{2}}}\approx 0\$. Es ist aber nur beinahe, also nahe bei 0 (Null). Der Nenner ist das Produkt von zwei natürlichen Zahlen. Für die Multiplikation dieser Zahlen gilt: $c=a\cdot b\,;\ a,b\in \mathbb {N} \Rightarrow c\in \mathbb {N} \$ Die hier aufgebaute Menge $\mathbb {W} \$ umfasst zwar nur den Bereich [0 1], trotzdem ist ihre Mächtigkeit um 1 größer, als die scheinbar überabzählbar unendliche Menge aus dem vorherigen Abschnitt. Trotz dieser gewaltigen Größe ist auch diese Menge nur abzählbar unendlich, weil der Nenner jeder Differenz d eine natürliche Zahl ist. Wieder wurde das Kontinuum nicht erreicht. Es muss wohl irgendetwas Besonderes an sich haben. Weder die Mächtigkeiten noch ganz kleine Abstände und nicht einmal die Kombination aus Beidem ergeben ein Kontinuum. Trotz Allem ergibt sich die Erkenntnis: „Die Vereinigung von zwei abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar.“ Die Überabzählbarkeit ist eine elementare Eigenschaft. Jeder Versuch, sie aus abzählbaren Mengen „herzustellen“ scheitert - wie die Versuche der Alchemisten Gold auf chemischem Wege herzustellen. Nichts anderes als „mathematische Alchemie“ waren die bisherigen Versuche. Es wurde immer nur versucht, das Überabzählbare abzuzählen – ein Widerspruch in sich.
Zählen jenseits des Unendlichen
Wenn das Kontinuum so elementare Eigenschaften hat, müssen sie auch gezeigt werden. Weil sich bisher alles ums Zählen drehte – sei es als „Bündelung“ in der Addition versteckt, oder mehrfach gebündelt in der Multiplikation – soll auch dieser Abschnitt keine Ausnahme bilden. Es geht also um das Zählen über das Unendliche hinaus. Dank Georg Cantor ist so etwas möglich. Ein paar Überlegungen zum Vorgang des Zählens und den Bezeichnungen der Grenzen erleichtern die Arbeit. Die letzte natürliche Zahl (irgendwo im Unendlichen) hat keinen Namen. Die erste Zahl, die der letzten natürlichen folgt, heißt $\omega \$ (omega). Der natürliche Vorgang des Zählens in mathematischer Darstellung: $1\ 2\ 3\ ...\$ Dieser natürliche Vorgang endet nicht mit Erreichen von $\omega -1\$, denn $\omega \$ ist keine natürliche Zahl. Trotzdem handelt es sich um eine Ordinalzahl und kann deshalb zum Zählen herangezogen werden. $1\ 2\ 3\ ...\ \omega \ (\omega +1)\ (\omega +2)\ ...\ (\omega +\omega )\ ...\$ Alles gut und schön, aber wie sieht denn eine Menge aus, deren Elemente auf diese Art und Weise abgezählt werden können? Eigentlich ganz einfach. $\mathbb {K} =\{0\}\cup \left\{i-{\frac {1}{k}}\,:\ i,k\in \mathbb {N} \,,\ i\geq 1\,,\ k\geq 2\right\}\$	Um vom ersten Element 0 (Null) zum nächsten ganzzahligen Element 1 zu zählen, sind $\aleph _{0}+1\$ Schritte erforderlich. Damit wird der Bereich der natürlichen Zahlen verlassen und die erste transfinite Ordinalzahl $\omega \$ wird benötigt. Ordinalzahl $0\$ $1\$ $2\$ ... $\omega \$ $\omega +1\$ $\omega +2\$ ... $\omega +\omega \$ ... Element $0\$ $1-{\frac {1}{2}}\$ $1-{\frac {1}{3}}\$ ... $1\$ $2-{\frac {1}{2}}\$ $2-{\frac {1}{3}}\$ ... $2\$ ... Die Menge $\mathbb {K} \$ zeigt, wie nach Erreichen des Unendlichen einfach weitergezählt werden kann. Ab dem ersten „ ...“ haben die Ordinalzahlen ihre ursprüngliche Heimat – die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \$ – verlassen. Jenseits der Hürde die mit $\aleph _{0}\$ gegeben war, besitzen sie die Eigenschaft, transfinit zu sein. Die zweite natürliche Zahl in der Menge $\mathbb {K} \$ ist bestimmt durch die Subtraktion der 0 (Null) von 1. Eine ähnliche Konstellation gab es bereits in den vorherigen Abschnitten, aber es fehlte das (transfinite) „Werkzeug“. Jetzt darf von einer aufsteigend geordneten Menge der Ordinalzahlen ausgegangen werden. Solange sich die benutzte Zahl noch im „Bereich“ der natürlichen Zahlen befindet, darf vereinfachend für das zweite Element aus $\mathbb {K} \$ $1-{\frac {1}{\aleph _{0}}}=1-0=1\$ geschrieben werden. Die Vereinfachung besteht in der Äquivalenz von $\aleph _{0}\$ und $\omega \$. Bei dieser Gleichsetzung wird die nicht ordnende 0 (Null) außer acht gelassen. Wenn die 0 (Null) die erste natürliche Zahl ist, dann sind die Elemente aus $\mathbb {N} \$ nicht die Ordinalzahlen, denn eine fehlt.
Erweitern oder vergrößern? Worte müssen in der Mathematik sehr genau auf ihre eigentliche Aussage untersucht werden. Dieser Abschnitt setzt sich mit einem derartigen Problem auseinander. Bereits die Überschrift gibt erste Hinweise. unächst ist zu erwähnen, dass mit der Ordinalzahl $\omega -1\$ nicht die letzte natürliche Zahl „indiziert“ wird. Der „Vorgänger“ von $\omega \$ ist eine unendliche, abzählbare Menge, also $\mathbb {N} \$. Nicht mehr einzelne Elemente werden mit den transfiniten Ordinalzahlen indiziert (geordnet), sondern „Gebilde“ die auch als Menge angesehen werden können. Deshalb gilt: $1+\omega \ \neq \ \omega +1$ Etwas schwieriger wird es, wenn die Zwischenräume der Elemente, hier mit ${\breve {\omega }}\$ bezeichnet, betrachtet werden. Bei abzählbaren und nicht unendlichen Mengen mit der (letzten) Ordinalzahl o gilt: ${\breve {o}}=o-1\$. Die Anzahl der Zwischenräume ist also genau um 1 geringer als die Elementanzahl. Letztere ist ja durch o gegeben. Die Kardinalzahl liefert zwar eine identische Information, kann aber nicht zum Zählen verwendet werden. Bei unendlichen, aber abzählbaren Mengen existiert kein letztes Element. Entsprechend der Peano-Axiome (dieser Link zeigt auf eine gängige, aber nicht ganz korrekte Interpretation. Deshalb hier die korrekte, aber auch abstraktere Fassung) gilt für abzählbar unendliche Mengen: Jedes Element hat genau einen Nachfolger. Das erste Element hat keinen Vorgänger. Alle Elemente, außer dem ersten, haben genau einen Vorgänger. Damit eignet sich die Menge der natürlichen Zahlen auch als Menge der Ordinalzahlen. Ihre Elemente eignen sich hervorragend zum Nummerieren von Elementen anderer Mengen. Am einfachsten kann die Menge $\mathbb {N} \$ mit einem (seeehhhr langen) Maßband verlichen werden, mit dem die „Längenelemente“ eines Abstands nummeriert werden. Das Band beginnt bei 0 (Null) und das zweite Element des Maßbandes indiziert dann genau eine Längeneinheit. Wenn also eine unendliche, abzählbare Menge vorhanden ist, so können die Elemente stets bijektiv auf die Elemente von $\mathbb {N} \$ abgebildet werden. Was aber, wenn sich herausstellt, dass es noch weitere Elemente gibt, die zu einer unendlichen abzählbaren Menge gehören? Werden sie einfach hinzugefügt, können sie nicht mehr geordnet werden, denn der Vorrat an „Ordinalzahlen“ wurde ja bereits für die ursprüngliche Menge verbraucht. Kann so eine unendliche Menge überhaupt erweitert werden? Ja – aber sie wird nicht größer. Hier ist die Feinheit der Wortwahl versteckt. Ein zusätzliches Element kann nicht angehängt werden, denn die Menge ist unendlich. Dafür kann das neue Element aber vorangestellt werden. Es genügt, die Eigenschaften des bislang ersten Elements zu ändern – es erhält einen Vorgänger. Gleichzeitig ist es nun Nachfolger des neuen Elements. Die Menge wurde erweitert und ist immer noch unendlich. An der Abzählbarkeit hat sich ebenfalls nicht geändert. Auf diese Weise kann die Menge der positiven ganzen Zahlen um die Null erweitert werden. Außerdem können auch noch alle negativen ganzen Zahlen hinzugefügt werden, ohne die Mengeneigenschaften „unendlich“ und „abzählbar“ zu ändern. Deshalb sind die Mengen $\mathbb {Z} \$ und $\mathbb {N} \$ von gleicher Mächtigkeit. Cantor zeigte, dass sogar die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ abzählbar ist. Mit dem hier beschriebenen Verfahren des Voranstallens ist die Menge nicht zu erzeugen, denn es gibt kein erstes Element (das wäre nämlich das letzte mit negativem Vorzeichen). Aber es geht trotzdem. Jedes neue Element wird einfach zwischen zwei 'benachbarten Elemente untergrbracht. Die betroffene Eigenschaft der Elemente bleibt prinzipiell erhalten, denn weiterhin hat jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger. Nur der „Wert–des–Abstands“ ändert sich. Im vorherigen Abschnitt ist gezeigt, dass die Abstände beliebg klein werden können, ohne die Eigenschaften Abzählbarkeit und/oder Unendlichkeit zu ändern. So sind die Mengen der ratinalen und sogar der algebraischen Zahlen abzählbar unendlich. Erst wenn die Abstände im mathematischen Sinne verschwinden (das ist noch sehr viel enger als ein unendlich kleiner Abstand), wird die Eigenschaft „abzählbar“ aufgegeben. Es ist nun nicht mehr möglich zwei Elemente eindeutig voneinander zu unterscheiden. In diesen Mengen gibt es „überabzählbar“ viele Elemente. Hier wurde eine stark vereinfachende Erklärung gegeben, warum die Vereinigung abzählbarer (und disjunkter) Mengen stets wieder eine abzählbare Menge ergibt. Mengen vergleichen Mengen können auf vielfältige Weise miteinander verglichen werden. Am einfachsten ist wohl ein Vergleich der Mächtigkeiten. Es braucht nur die Anzahl der Elemente miteinander verglichen zu werden. Eine andere Vergleichsmethode verwendet die Elemente selbst. Sind alle Elemente der beteiligten Mengen gleich, so sind es die Mengen selbst auch. Diese Methode entspricht dem Extensionalitätsaxiom des FC (fc-EXT). Leider funktioniert keine der beiden genannten Methoden einwandfrei. Die erste Variante vergleicht nur Mächtigkeiten. Damit können dann (wohlunterscheidbare) Äpfel mit Birnen verglichen werden. Die zweite Vergleichsvariante versagt, wenn sowohl Äpfel als auch Birnen gegessen worden sind. Die beiden Mengen sind dann leer und lassen, wegen der im Axiom geforderten Elemente, keinen Vergleich zu. Wie trotzdem sinnvolle Vergleiche durchgeführt werden, ist in der Lektion Mengenlehre zu finden.

Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik der Mengenlehre „Ein Axiom ist ein unbeweisbarer aber in sich einsichtiger Grundsatz. Ein Axiomensystem oder eine Axiomatik ist ein folgerichtig aufgebautes System aus einzelnen Axiomen. Die Unbeweisbarkeit jedes derartigen Systems bewies Kurt Gödel 1931.“ Hier die Axiomatik der Mengenlehre in natürlicher Sprache (von Mathematikern übrigens Prosa genannt), wie sie von Ernst Zermelo und Adolf Fraenkel begründet wurde. EXT Extensionalitätsaxiom Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die selben Elemente haben. Adolf Fraenkel Ernst Zermelo FUN Fundierungsaxiom Jede nichtleere Menge x hat ein Element y, das mit x kein Element gemeinsam hat. LM Existenz der leeren Menge Es existiert eine Menge, welche keine Elemente hat. PA Paarmengenaxiom Zu je zwei Mengen x, y existiert eine Menge z, die genau x und y als Elemente hat. VER Vereinigungsaxiom Zu jeder Menge x existiert eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind. AUS Aussonderungsschema Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge x gibt es eine Menge y, die genau die Elemente von x enthält, auf die E zutrifft. UN Unendlichkeitsaxiom Es existiert eine Menge x, die die leere Menge als Element enthält und die mit jedem ihrer Elemente y auch {y} als Element enthält. ERS Ersetzungsschema Zu jeder funktionalen Eigenschaft E und jeder Menge M existiert eine Menge N, die genau diejenigen y als Elemente enthält, für welche ein x aus M existiert, so dass der Menge x durch E die Menge y zugeordnet wird. POT Potenzmengenaxiom Zu jeder Menge x existiert eine Menge y, die genau die Teilmengen von x als Elemente besitzt. AC Auswahlaxiom Zu jeder Menge F, deren Elemente nicht leer sind, existiert eine Funktion, die jedem x aus F ein y aus x zuordnet.

Siehe auch

• Naive Mengenlehre
• Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre