Projekt Diskussion:Mathematik ist überall/Mengen

(Wohl-)Unterscheidbarkeit, Gleichheit oder Ähnlichkeit

So wie es nicht zwei gleiche Schneeflocken im Universum gibt, so auch nicht völlig zwei gleiche Eier. Wenn wir die Eier und Schneeflocken nicht unterscheiden können, liegt es nur an unserer beschränkten Wahrnehmung. Was tatsächlich vorliegt, ist Ähnlichkeit, woraus unsere beschränkte Sicht irrtümlich auf Gleichheit schließt.

Ansonsten ist mir der Text nicht verständlich, nur für Mathematiker zu lesen. --Elser 12:43, 10. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, schön dass Du so viel im Projekt stöberst. Zu Deiner Bemerkung: es geht um den von Georg Cantor verwendeten Begriff der „Wohlunterscheidbarkeit“ den Du hier bemängelst. Die Sandkörner der Sahara sind aus einem fliegenden Flugzeug schwerlich zu unterscheiden; es ist deshalb keine Menge Sandkörner, sondern eine Masse Sand. Analog zu dieser nicht gegebenen Wohlunterscheidbarkeit ist das mit den Eiern gemeint.

Es ist schade, dass Du den Beitrag nicht verstehen kannst. Allerdings wurde uns von anderer Seite berichtet, der Inhalt sei einfach zu verstehen und nachzuvollziehen. Vielleicht hilft es Dir, wenn Du Dich von dem in der Wikipedia vorhandenen Anspruch löst, den Oma-Test anzuwenden. Dieses Projekt ist nicht für ein „Konversationslexikon“ gedacht.

Wenn Dir Abschnitte aufgefallen sind, die nicht ausreichend mit WP verlinkt sind, so teile uns das doch mit. Wir werden so schnell wie möglich die erforderlichen Links einfügen. Auch Links zu anderen, renommierten Informationsquellen (DMV, AMS, Wolfram u.ä.) sind stets willkommen.

Gruß --Heuerli 14:34, 10. Feb. 2008 (CET)

Ist "Wohlunterscheidbarkeit" nicht ein total subjektiver, wissenschaftlich unbrauchbarer Begriff, abhängig von dem subjektiven Unterscheidungsvermögen und der Perspektive (Flugzeug). Ich vermisse hier den mathematisch interessanteren Begriff "Ähnlichkeit" oder Invarianz. Grüße von Oma--Elser 15:46, 10. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, wenn Du mal ein bisschen bei Google stöberst, kannst Du weitere Informationen zum durchaus nicht subjektiven Begriff der Wohlunterscheidbarkeit finden. --Exxu 15:57, 10. Feb. 2008 (CET)

Du (Elser) schreibst, dass die Unterschiede stets vorhanden seien, jedoch unsere mangelnde Sensorik Ursache für (vermeintliche) Gleichheit sei. Nimm als Beispiel den Wert ${\frac {1}{2}}\$. Es gilt:

${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}={\frac {5}{10}}\$

Trotzdem handelt es sich um verschiedene (wohlunterscheidbare) Elemente der Menge $\mathbb {Q} \$. Genau das soll unter anderem hier ausgedrückt werden. Gleich kann manchmal auch ungleich sein. Es ist keine Frage des subjektiven Standpunkts, es ist eine Frage der objektiven Gegebenheiten. Letztere können unterschiedlich sein, dann sind (oft) auch die Unterschiede andere oder nicht mehr vorhanden. --Heuerli 16:27, 10. Feb. 2008 (CET)

1/2 und 5/10 sind gleich (wenn man sie als rationale Zahlen betrachtet). Und wenn man sie als etwas anderes als rationale Zahlen (oder deren "Erweiterungen") betrachtet, sollte man das dazuschreiben. Zum Begriff "wohlunterscheidbar" siehe w:Wohldefiniertheit. FrankyS 16:10, 14. Mär. 2008 (CET)

Das Problem sehe ich so: Mathematiker gehen gewohnheitsmäßig sehr unkritisch mit dem Begriff der Gleichheit und dem Gleichheitszeichen um. A=A behauptet die Gleichheit der beiden Buchstaben, die in Wirklichkeit nicht besteht, weil beide Buchstaben auf unterschiedlichen Plätzen stehen, rechts oder links vom Gleichheitszeichen, sie unterscheiden sich positionell. Noch deutlicher werden die Unterschiede bei handgeschriebenen Buchstaben, bei denen kein A einem anderen gestaltlich völlig gleicht. 1/2, 2/4 und 5/10 sehen für mich völlig verschieden aus. 1/2 ist ein unkürzbarer Bruch, 2/4 ist ein Bruch, der sich durch 2 teilen läßt, was bei fünf Zehnteln nicht möglich ist, das sind doch wichtige Unterschiede.

Wenn Mathematiker diese Zahlen als Gleiches behandeln, ignorieren sie die tatsächlich vorhandenen Unterschiede zwischen einem gekürzten und einem ungekürzten Bruch usw. Das ist eigentlich eine Täuschung, allerdings eine sehr nützliche, weil damit die Mathematik überhaupt erst möglich wird. In der Realität gibt es keine Gleichheit, die gibt es nur subjektiv in unseren Köpfen. Noch eine kleine Kritik: Analoge Uhren sind meines Wissns nur die Sonnenuhren. Mechanische Uhren haben das Ticktack der Unruhe, Quarzuhren die Quarzschwingung, Sanduhren das Sandkorn, Atomuhren die atomare Schwingung, alles diskrete Taktformen.

Im Google habe ich auf die Schnelle kein Argument gefunden, das mir "Wohlunterscheidbarkeit" als objektives Kriterium glaubhaft macht. Vielleicht habt ihr die zwingenden Argumente, die mich überzeugen?--Elser 17:16, 10. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, die formale Schreibweise „A=A“ behauptet erst mal gar nichts. Es kommt drauf an, wie diese Schreibweise zu interpretieren ist. Und dafür gibt es Definitionen, Axiome usw. Innerhalb eines festgelegten, vorgegebenen Rahmens kann A=A sinnvoll sein und unter anderen Rahmenbedingungen womöglich nicht. Man kann in der Mathematik nicht einfach was aus dem Zusammenhang reißen und dann irgendwelche Sachen hinein interpretieren. Mathematik ist da sehr exakt. Und wenn Du jemanden kannst, der sich als Mathematiker bezeichnet und es mit dem Gleichheitszeichen nicht so genau nimmt, dann will ich Dir Deine Erfahrung nicht streitig machen. Ich kenne jedenfalls keinen Mathematiker, der es mit dem Symbol „=“ nicht genau nähme.

Im Übrigen hat Benutzer:Heuerli ja oben gerade nicht geschrieben, dass 1/2, 2/4 usw. identische Schreibweisen wären. Es sind Vertreter aus der Menge $\mathbb {Q} \$. Und sie sind „wohlunterscheidbar“. Wenn Du allerdings den reellen Zahlenwert betrachtest, den diese Vertreter repräsentieren, dann kann der z.B. als „0,5“ geschrieben werden. Das ist aber ein ganz anderes Feld, denn „0,5“ ist überhaupt nicht in $\mathbb {Q} \$ enthalten. Gruß --Exxu 19:45, 10. Feb. 2008 (CET)

0,5 nicht in $\mathbb {Q} \$? Brüche lassen sich sehr wohl durch Kommazahlen darstellen. FrankyS 16:10, 14. Mär. 2008 (CET)

Hallo Exxu/Heuerli, ich bezweifele ja nicht die Qualität der mathematischen Exaktheit und Kürze, aber ihre "Objektivität" möchte ich generell in Frage stellen. Nicht,daß ich Objektivität ausschließe, aber die allgemeine Lehre der Quantentheorie lautet: "Was gesehen wird, hängt vom Beobachter ab" und eine "komplementäre Sichtweise" ist die der Realität angemessene Sichtweise. Solche Meinungsverschiedenheiten über die Grundlagen sind aber Tradition in der Mathematik, Intuitionalisten, Konstruktivisten und was sonst für ...isten haben da schon dran geknabbert. Wenn ich hier falsche Gedanken von mir gebe: Ich lerne gern dazu und korrigiere gern meine Irrtümer.--Elser 20:36, 10. Feb. 2008 (CET)

Na gut. Bevor wir also hier weiterdiskutieren, schreib doch bitte mal, was Du unter "Objektivität der Mathematik" verstehst. Gruß, --Exxu 22:19, 10. Feb. 2008 (CET)

"Objektiv" werden Aussagen genannt, wenn sie als "unabhängig vom Aussagenden" gelten sollen, eine sehr fragwürdige Eigenschaft in der modernen Physik.--Elser 22:41, 10. Feb. 2008 (CET)

Du sprachst weiter oben aber nicht von "Objektivität im Allgemeinen" oder "in der Physik", sondern von der "Objektivität in der Mathematik". Daher nochmals meine Frage: Was verstehst Du unter "Objektivität in der Mathematik"? Gruß --Exxu 22:47, 10. Feb. 2008 (CET)

Moin Elser, ich hänge mich mal dazu. Deine Argumente leuchten ein. Objektivität im quantentheoretischen Sinn existiert nur über die „Kopenhagener Vermutung“. Damit entspricht jede Auflösung einer quantenmechanischen Verschränkung der Vernichtung einer Realität. Dein Problem mit der Objektivität ist allerdings systemimmanent, denn auch die Prozesse in Gehirnen können quantenmechanisch betrachtet werden. Damit unterliegt jedes Deiner Argumente der Gleichung von Schrödinger und sollte, wegen der von Dir geforderten Objektivität, gar nicht formuliert werden. Das ist allerdings nur eine Spielerei, denn so würde Kommunikation unmöglich.

Ich unterstelle mal, dass Dein Beitrag, den Du uns anempfohlen hast, immer noch ernst gemeint ist. Dort benutzt Du die Addition in einem von Dir hier nicht akzeptierten Axiomensystem. Auch benutzt Du dort (und eben auch hier) die Begriffe „Information“ und „Datum“ synonym. Um Deinen Irrtum dort aufzuklären: Herr Shannon formulierte das Gesetz der „Abtastrate“ (Abtasttheorem), aber bereits Huffmann bewies die „Bewertbarkeit von Information“ die in Daten enthalten sein könnte. Genau diesen Konjunktiv übergehst Du in Deinem Beitrag und auch in Deiner Argumentation hier.

Genau diesen Unterschied haben wir jedoch dargestellt. Axiome sind Daten, Information ist das (verstandene) Axiomensystem. Die von Dir geforderte unabhängige Objektivität wurde bereits von Kurt Gödel als mathematisch nicht existent nachgewiesen, weshalb wir genau das auf der Eingangsseite des Projekts platziert haben. Gruß --Heuerli 09:50, 11. Feb. 2008 (CET)

Ich bin erfreut, daß wir hier mit Niveau dikutieren. Wie ihr sehen könnt, bin ich in die Mathematik einzig und allein durch die Faszination der fraktalen Geometrie ein wenig tiefer eingedrungen und völlig blind für das, womit ihr euch beschäftigt. Mich beschäftigen die sprachtheoretischen und neurophysiologischen Grundlagen, und dazu ist so eine grobe Sichtweise "von außen" angebracht. "unabhängige Objektivität" fordere ich nicht, sondern gehe von "fragwürdig" aus und möchte kurz so sagen: "Der Begriff "objektiv" ist selbst "subjektiv", in "komplementärer" Sichtweise zu betrachten. Der Ausgangspunkt dazu war die "Wohlunterscheidbarkeit", die ich nach wie vor rein subjektiv verstehe und lieber durch ein Konzept der Ähnlichkeitsanalyse ersetzen würde. (Der Abschnitt "Philosophie" unter Ähnlichkeit ist von mir).

Im täglichen Leben gehe ich mit der Gleichheit natürlich unbekümmert um, wenn ich 10 Euromünzen mit einem Zehnerschein gleichsetze, Eier kaufe, und als ich einmal vor einer großen Schafsherde stand, waren die für mich nicht unterscheidbar, alle mehr oder weniger gleich. Dann kam der Schäfer, und der erkannte jedes einzelne Schaf. So subjektiv ist die "Wohlunterscheidbarkeit". Mit fraktalen Grüßen --Elser 11:28, 11. Feb. 2008 (CET)

Die Mathematik kennt nun aber auch keine allgemeine "Subjektivität". Sie basiert auf Axiomen - deren Auswahl man zustimmen kann oder nicht - soweit mag das Element der Subjektivität eine Rolle spielen. Innerhalb dieses akzeptierten Axiomensystems aber gibt es Definitionen und Schlussregeln, deren formale Anwendung zu bestimmten Ergebnissen führen. Und dies geschieht „ohne Ansehen der Person“. In Bezug auf die Wohlunterscheidbarkeit hängt es also vom Gegenstand der Untersuchung ab. Untersuche ich die Elemente einer Menge in ihrer unterscheidbaren Form oder untersuche ich die Eigenschaften der Menge als solche. Unabhängig von persönlichen Vorlieben muss ein jeder Mathematiker innerhalb des Bzugssystems zu den gleichen Schlüssen gelangen. Insofern ist da eben nichts "subjektiv". Gruß --Exxu 11:57, 11. Feb. 2008 (CET)

Auch das Bezugssystem nicht subjektiv?

Mathematik ohne Verbindung zur Subjektivität ihrer Erzeuger wäre für mich wie Beethovens Sinfonien ohne Verbindung zum Komponisten, eine unnötig beschränkte Sichtweise. Die Subjektivität der Mathematik fängt beim "Gleich-Setzen" an. In der Realität gibt es keine gleichen Objekte, nur ähnliche.--Elser 12:49, 11. Feb. 2008 (CET)

Ein Tipp: geh doch mal auf die Anfangsseite des Projekts. Dort findest Du die einleitende Feststellung, dass es sich bei Mathematik nicht um eine Naturwissenschaft handelt, sondern um Kunst. Kein Objekt der Mathematik existiert in der als Realität angenommenen physikalischen Umwelt. Mathematik kennt keine subjektiven Vorlieben zu bestimmten Komponisten (auch in der Mathe gibt es Kompositionen). Mathematik ist die Wahrheit, welche sich aus den zugrunde liegenden Axiomen nach bestimmten Regeln ergibt. Die Regeln sind ebenfalls genau definiert, wie Du hoffentlich bald im Abschnitt Gruppen lesen kannst. Seit ca. 100 Jahren hat sich die Mathematik von der Phlosophie gelöst. Damit ist der Denkprozess als solcher nicht mehr Gegenstand der Mathematik, sondern der Biochemie oder der Philosophie. --Heuerli 13:11, 11. Feb. 2008 (CET)

Da sind wir ja weitgehend einer Meinung. Mir geht es nur um die fragwürdige, nur vom Betrachter abhängige "Wohlunterscheidbarkeit".--Elser 14:20, 11. Feb. 2008 (CET)

Die „Wohlunterscheidbarkeit“ ist aber eben nicht vom Betrachter abhängig, sondern vom Untersuchungsgegenstand. Bei gleichem Untersuchungsgegenstand sind Objekte für jeden Betrachter auf gleiche Art wohlunterscheidbar. --Exxu 14:58, 11. Feb. 2008 (CET)

Ich empfehle Dir folgendes Experiment: Nimm 10 verschiedene Weinflaschen (Qualitätsweine aus verschiedenen Regionen und Jahrgängen) und mache ein Treffen mit einem Weinprüfer, in dem ihr beide nach und nach (mit ein bischen Brot und käse) aus jeder Flasche ein Gläschen nippt. Dann soll jeder erzählen, was er dabei für "wohlunterscheidbare Eindrücke" gesammelt hat, zu jedem Glas eine Story. Dann wirst du sicher (nach dem 10.Glas!) sehen: "Bei gleichem Untersuchungsgegenstand sind Objekte für jeden Betrachter auf gleiche Art wohlunterscheidbar" ist eine unhaltbare Behauptung. IN VINO VERITAS! Wohl bekomms,--Elser 17:39, 11. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, Du scheinst ein grundsätzliches Problem mit dem Kontext dieses Projekts zu haben. Weinproben Theaterkritiken, Bewertung von Kunstwerken usw. sind gewiss nicht mathematischer Natur. Es ist auch nicht Aufgabe der Mathematik auf den genannten Gebieten irgendwelche Relationen bereitzustellen. Deshalb noch einmal der Hinweis auf Axiome und daraus aufgebaute Systeme auf der Eingangsseite. --Heuerli 11:01, 12. Feb. 2008 (CET)

Nachdem ich mir noch einmal Cantors Mengendefinition angeschaut habe (Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens) sehe ich das mißverständliche dieser Formulierung so: Er meint wohl mit unterscheidbar nur "voneinander abgrenzbar" (Scheide=Grenze) und nicht "qualitativ unterscheidbar". Voneinander abgrenzbar sind dann aber auch Eier, Sandkörner und Schneeflocken. Daß unsere Anschauung oder unser Denken reine Subjektivität sind, ist doch wohl unbestreitbar. Zurück zu eurem Beispiel mit den Eiern: Solange die Eier in ihrer Schale=Grenze stecken, sind sie "Wohlunterscheidbar". Rüherei gibt es erst, wenn ihre Schalen zerstört werden. --Elser 18:50, 11. Feb. 2008 (CET)

Erneut – Hallo Elser, Cantor hat eine sehr viel weiter gefasste Vorstellung von „Wohlunterscheidbarkeit“ hinterlassen als eine simple „Abgrenzung“. Sein Werk basiert gerade darauf, dass eben diese „Abgrenzung“ nicht (immer) möglich ist. Dann liegt, wegen des „fließenden“ Übergangs ein Kontinuum vor. Trotzdem sind irgendzwei Elemente des Kontinuums wohlunterscheidbar. Dabei müssen die Relationen der Vergleiche genau festgelegt werden. Die mathematische Grundlage ist die Gleichheitsrelation. Zweifellos wird es Dir gelingen, Deine „Geschmackserlebnisse“ bei Weinproben den erforderlichen Mengen zuzuordnen, aber es sind eben Deine Erlebnisse. Mathematisch ist das durchaus korrekt, jedoch wirst Du Probleme haben das Erlebte Anderen zu vermitteln. Letzteres ist es aber, was einen mathematischen Beweis ausmacht. Er muss für alle Anderen aus der Axiomatik widerspruchsfrei nachvollziehbar sein. Vielleicht hilft der Zusatz, dass ich Raucher bin. --Heuerli 11:01, 12. Feb. 2008 (CET)

Den Cantor in allen Einzelheiten zu verstehen, werde ich wohl nie erreichen, aber eine Frage interessiert mich:

„‚A‘ und ‚B‘ sind genau dann gleich, wenn ‚A‘ Teilmenge von ‚B‘ ist und ‚B‘ Teilmenge von ‚A‘ ist.“ Gibt es so eine Konstruktion irgendwo in der Realität? Wie kann ich mir das vorstellen?

Für Mathematiker könnte es im Zusammenhang mit "Grenzen" auch interessant sein, daß unser Nervensystem mit speziellen Schaltprinzipien (Konvergenz, Divergenz, laterale Hemmung) Kontraste verstärkt und auf diese Weise für unsere "Wahrnehmung" Grenzen herstellt, wo nur geringe, nicht wahrnehmbare Unterschiede vorhanden sind (siehe mein Wikibook-Kapitel "Grenzbildung". Diese "Gestaltung" der "Wahrnehmung" könnte als "a priori" der Erkenntnisfähigkeit (I.Kant) betrachtet werden.

Wichtig für die "diskret-kontinuierlich"-Diskussion könnte auch Erkenntnis sein, daß unser subjektiv kontinuierlicher "Strom des Bewußtseins" eine Illusion ist, hinter der ein diskreter Arbeitstakt der Hirnrinde steht, ähnlich wie im Kino: 25 Einzelbilder pro Sekunde verschaffen uns die Illusion des Kontinuums.

Dieser Takt, von einem neuronalen Oszillator erzeugt, ist auch die Ursache unseres "Zeitgefühls", die "Unruhe" unserer "inneren Uhr".

Als Raucher beeinflußt Du Deine Hirnrinde mit einem Stoff (nikotin), der die Nerventätigkeit ein wenig hemmt, was Deiner Aufmerksamkeit zu Gute kommt. Viel Vergnügen, --Elser 12:30, 12. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, Du solltest den Hinweis, dass Mathematik Kunst ist, ruhig ernst nehmen. Zu Deiner Frage: $A=\{a\ b\ c\}\,;B=\{a\ b\ c\}\$. Hier gilt zweifellos $A\subseteq B\land B\subseteq A\$. Für die Elemente a, b, c kannst Du Knöpfe und für die geschweiften Klammern Tüten nehmen. Du darfst die Inhalte der Tüten nur nicht zusammenkippen.

Das Kontinuum ist nicht das Problem in der Mathematik. Wen ein Oszillator als Basis dient, ist bestimmt kein Kontinuum gemeint. Dafür gibt es die diskrete Mathematik.

Das Kontinuum kannst Du die auch anhand es Potentials am subnynaptischen Spalt klarmachen. Die Ladungsträger entstehen innerhalb der Zelle und haben zu jedem Zeitpunkt (euklidisch, ohne Ausdehnung) andere Distanzen. Das synaptische Potential ist also stets ein anderes, was gemeinhin als „rosa Grundrauschen“ angesehen wird. Das liegt aber nur an der Tatsache, dass die Messungen zeitdiskret erfolgen. Da bist Du wieder in der Physik – ganz genau bei Heisenberg. Das ist aber keine Mathematik. --Heuerli 19:07, 12. Feb. 2008 (CET)

Kunst,ja, ich verehre auch solche Künstler wie Gauß und Mandelbrot, aber ich habe keine zwei Knöpfe, die sich völlig gleich sind, nur ähnliche. Bei (abc) und (abc) bemerke ich auch starke Ähnlichkeit, möchte aber nicht von Gleichheit sprechen, weil mein Sehvermögen schon ein wenig nachgelassen hat und die feinen Differenzen mir leicht entgehen können. Außerdem bin ich ja auch der Meinung, daß es im ganzen Universum keine zwei "Objekte" geben kann, die sich völlig gleich sind. Das Gleichsetzen erscheint mir praktisch und nützlich, aber nicht ganz der "Wahrheit" entsprechend. Das Kontinuum habe ich erwähnt, weil auf der Projektseite auch davon die Rede ist, im Zusammenhang mit Uhren und der "mittags"-Bestimmung. Gruß--Elser 00:23, 13. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, schade dass Du die Gegebenheit Deinen Vorstellungen unterstellst. Wenn Du Gleichheit nicht akzeptieren kannst, weil Du Mathematik auf real existierende Objekte projizierst, kann ich Dir leider nicht weiter helfen. Gruß --Heuerli 10:32, 13. Feb. 2008 (CET)

Hallo Heuerli, Helfen und Hilfe bekommen soll ja möglichst ausgewogen sein, und nachdem Du mir schon geholfen hast, kannst Du mich vielleicht mit meiner Hilfe besser verstehen. Ich bin kein "Logiker", aber versuche es einmal damit: In der Kunst ist "Wahrheit" immer subjektiv. Mathematik ist eine Kunst. Folglich ist die Wahrheit in der Mathematik immer...??? Sehe ich da etwas falsch? Gruß,--Elser 13:05, 13. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, geschickter Versuch den modus „barbara“ anzuwenden. Wie „künstlich“ die Wahrheit ist, kannst Du im Abschnitt Logik oder – wesentlich formaler – hier sehen. In jedem Fall wirst Du erkennen, dass ohne Mengen und akzeptierte Gleichheit nichts läuft. Ach ja – zwei leere Mengen sind übrigens gleich und das aus den bereits erwähnten Gründen. Mathematik benötigt eben keine Stofflichkeit. Gruß --Heuerli 14:36, 13. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, um mich hier auch noch mal einzumischen, gebe ich mal noch meinen Senf dazu:

Ich habe den Inhalt Deiner Antwort (von heute 00:23 Uhr) vorhergesehen. Es war mir ziemlich klar, dass Benutzer Heuerli Dir mit dem sicherlich gut gemeinten Hinweis, Du könntest Dir ja Knöpfe und Tüten vorstellen, einen Bärendienst erwiesen hatte. Gleichheit von Knöpfen in zwei verschiedenen Tüten bereitet Dir sicherlich Kopfzerbrechen - nicht wahr? Ich versuch's mal auf andere Art:

Stell Dir zwei Studiengänge vor, der eine zum Studium des Fachgebiets A und der andere zum Studium des Fachgebiets B. In jeden Studiengang dürfen sich beliebige Studenten eintragen. Nach der Eintragung werden die Anmeldelisten eingesammelt und - natürlich getrennt - gespeichert. Ein Professor aus dem Gebiet A will nun wissen, wer von seinen Studentenanwärtern sich auch für Fach B eingetragen hat. Es stellt sich heraus, alle seine Anwärter haben sich auch für B angemeldet.

Somit ist die Menge der Studienanwärter für Fachgebiet A eine Teilmenge der Anwärter für Fachgebiet B.

Ein anderer Professor aus dem Fachgebiet B interessiert sich nun ebenfalls dafür, wer seiner Studienanwärter sich für das Gebiet A angemeldet hat. Es stellt sich im Ergebnis heraus, dass sich alle seiner Anwärter auch für Fach A angemeldet haben.

Somit ist die Menge der Studeienanwärter für Fachgebiet B eine Teilmenge der Anwärter für Fachgebiet A.

Den Rest darfst Du Dir nun selbst denken. Und ob Du nun zustimmst oder nicht - jeder Mathematiker wird zu der Erkenntnis gelangen, dass die Menge der Studienanwärter für Fachgebiet A identisch ist mit der Menge der Studienanwärter für Fachgebiet B.

Gruß, --Exxu 17:00, 13. Feb. 2008 (CET)

Moin Elser, vergiss die Knöpfe und die Tüten! Exxus Beispiel bringts. Er ist einfach der bessere Didaktiker (siehe Tagebuch). --Heuerli 17:55, 13. Feb. 2008 (CET)

Danke Heuerli. Dafür nun auch noch ein mehr abstraktes Beispiel:

• Sei A die Menge aller natürlichen Teiler größer 1 von 210.
• Sei B die Menge aller Primzahlen bis 8.

Dann gilt:

1. A ist Teilmenge von B
2. B ist Teilmenge von A

Somit ist A = B.

Ich hoffe, ich konnte helfen. --Exxu 18:55, 13. Feb. 2008 (CET)

ja, Exxu, du hilfst mir insofern Du mir Denksport bietest, gut gegen Alzheimer. Den Haken sehe ich beim ersten Beispiel darin, daß einfach die gleiche Menge von Elementen unter zwei verschiedene Namen (A und B) als Argument für Gleichheit von A und B dienen soll, ein fauler Trick.

Das zweite Beispiel ist mir nicht so ganz klar, aber wahrscheinlich durch einen Tippfehler von Dir (Teiler größer 1 von 210.? Die 210 scheint mir ein Versehen, wahscheinlich meist Du 2-10). Wenn meine Vermutung (Teiler bis 10) stimmt, liegt der gleiche Trick wie beim ersten Beispiel vor.

zu Heuerli: Du kannst die Philosophie ja von der Mathematik trennen, aber wenn es um "Wahrheit" geht, wollen die Philosophen auch etwas dazu sagen. Subjektivität ist ja nichts Verwerfliches, im Gegenteil, bewunderungswürdig, wenn sie so großartige Ergebnisse wie die Konstruktion der "imaginären Ebene" usw. hervorbringt. Dafür akzeptiere ich auch die immanente Täuschung des "Gleichsetzens", das ist ohne Zweifel sehr nützlich, aber eben doch Täuschung (aus philosophischer Sicht). Gruß,--Elser 20:11, 13. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, ich glaube, wir sprechen nunmal verschiedene Sprachen und/oder kommen aus unterschiedlichen Kulturkreisen ;-)

Ja was denn sonst bedeutet die Gleichheit zweier Mengen, wenn nicht die Tatsache, dass ihre jeweiligen Elemente ebenfalls in der jeweils anderen Menge enthalten sind?!

Und zum zweiten Beispiel: nein, ich meinte tatsächlich 210 (zweihundertundzehn) als Dezimalzahl. --Exxu 20:51, 13. Feb. 2008 (CET)

hallo Eccu, sogar in der gleichen Sprache können wir uns gründlich mißverstehen, aber auch das Gegenteil ist möglich. Die Frage: "was denn sonst bedeutet die Gleichheit zweier Mengen..." kann sich in diesem Zusammenhang meines Erachtens nur auf geistige Konstruktionen beziehen, nicht auf "reale Objekte", die streng genommen nie gleich sind. Findet ihr den Begriff "Ähnlichkeit" uninteressant? Der ist doch auch mathematisch beschreibbar und spielt in der fraktalen Geometrie eine Hauptrolle. Apropos Mandelbrot-Menge: Es gilt wohl als erwiesen, daß es im Apfelmännchen zwar unendlich viele ähnliche, aber nicht zwei völlig gleiche Strukturen gibt, ganz wie im Kosmos.Gruß,--Elser 18:17, 14. Feb. 2008 (CET)

Hallo Elser, genau diese Erkenntnis versucht Dir Heuerli ja nun schon seit Beginn dieser Diskussion nahe zu bringen: Ja, die Mathematik befasst sich mit abstrakten Dingen. Objekte der realen Welt sind nicht ihr Untersuchungsgegenstand. Dafür gibt es die Naturwissenschaften. Gruß, --Exxu 18:26, 14. Feb. 2008 (CET)

Muß man das als Wissenschaftler immer so trennen, da die mathematiker, hier die philosophen, dort die Naturwissenschaftler, und dazwischen Sprachbarrieren?--Elser 19:22, 14. Feb. 2008 (CET)

Wenn man sich zu einem gemeinsamen Schachspiel verabredet, gibt es dort auch Spielregeln, an die sich alle Beteiligten halten müssen, wenn das Spiel nicht "platzen" soll. Wenn einer den anderen Mitspieler immerzu überreden will, doch mal die Läufer nicht immer nur diagonal zu ziehen, sondern auch mal senkrecht oder waagerecht, denn im echten Leben liefe ein Läufer ja auch nicht nur querfeldein, sondern auch mal ordentlich die Straße entlang, dann mag ja daraus ein neues Spiel entstehen, aber das nennt sich dann eben nicht mehr Schach.

Ich habe ja versucht, Dir eine mögliche Entsprechung von zwei gleichen Mengen im realen Leben darzulegen. Schließlich war in dem Beispiel ja nicht von vornherein damit zu rechnen, das die Menge der Studenten des Fachgebiets A identisch sein wird mit der Menge der Studenten des Fachgebiets B. Im Beispielsfall hat es sich aber so herausgestellt. Und dadurch waren diese Mengen eben gleich sowohl im realen, wie auch im mathematischen Sinne. Du hast das als "faulen Zauber" abgetan. Dadurch ist nun aber keine sinnvolle Diskussion mehr möglich. Ich könnte ja nun auch beginnen, am Sinn der Medizin zu zweifeln und alles der natürlichen Selektion überlassen. Wozu wollten wir uns dann aber noch fachlich unterhalten? Gruß --Exxu 19:37, 14. Feb. 2008 (CET)

Pardon, weder "faul" noch "Zauber" sind für mich negativ, moralisch abwertend gemeint. Faulheit kann sehr produktiv sein, z.B. in der Mathematik war es die Faulheit, die von der Strichliste zu den Ziffern führte, von der unendlichen Zahl zur bequemen Darstellung psi oder "wurzel aus zwei", dahinter steckt sicher auch der Wunsch nach Übersichtlichkeit, aber die Faulheit in der Mathematik sehe ich als den Hang zur optimalen Kürzung durchaus positiv, und Zauber natürlich ebenso.

Mir fällt auf, daß ihr auf mein Interesse an der fraktalen Geometrie und die daraus abgeleiteten Fragen nicht eingeht.--Elser 21:09, 14. Feb. 2008 (CET)

Moin Elser, wenn Du den Argumenten von Exxu nicht folgen magst, sondern über Deine positive oder negative Belegung des von Dir attributierten Begriffs „Zauber“ redest, ist wirklich keine Diskussion möglich. Woher sollen wir wissen, wann Du verwendete Begriffe wie belegst? Wer, außer Dir, kann ahnen, welche Erlebnisse Dir im „realen Leben“ widerfahren sind, die Deiner Meinung nach mit der Mathematik nur auf philosophischer Basis vereinbar sind? Deine Weigerung, die korrekten Bezeichnungen zu verwenden, zeigt eigentlich nur Deinen Unwillen, auf einer gemeinsamen Basis zu reden. Es gibt keine „unendlichen“ Zahlen! Es sind irrationale oder transzendente Zahlen. „Wurzel aus zwei“ wird hier als ${\sqrt {2}}\$ formuliert.

Besonders unangenehm fällt Dein Vorwurf auf, wir würden nicht auf Deine Interessen eingehen. Du solltest Dir vielleicht ins Gedächtnis rufen, wo Du was schreibst. Im Abschnitt Zahlen und Basen wurde, trotz des Hinweises an Dich, bitte die Bereiche einzuhalten und/oder wenigstens Überschriften zu verwenden, darauf eingegangen. Es wurde Dir sogar angeboten, an diesem Projekt mitzuarbeiten und entsprechende Literatur und Links angeführt, um es Dir zu erleichtern, Dich mit neueren Erkenntnissen vertraut zu machen.

Was erwartest Du eigentlich? Sollen wir Deine Ansichten über das Unvermögen der Mathematik auf Deine Interpretationen der Realität einzugehen, detailliert besprechen? Sollen wir dem Rest der Welt mit diesem Projekt mitteilen, dass Deine Worte die Realität – die hier überhaupt nicht relevant ist – besser beschreiben als die Mathematik?

Sag doch einfach was Du möchtest. Wenn Du mitarbeiten willst, gut. Das Angebot wurde an der von Dir gewählten Stelle gemacht. Wenn Du uns auf Fehler aufmerksam machen möchtest, prima. Nenne uns die Axiome gegen die wir im entsprechenden System verstoßen und wir korrigieren das. Erwartest Du Hilfe bei mathematischen Fragen, auch gut. Wir geben uns viel Mühe bei den Antworten.

Gruß --Heuerli 13:42, 15. Feb. 2008 (CET)

Der Weg zum Kontinuum

In der Ableitung der "letzten" Generation aus der "vorletzten" sollte der Index mMn statt "g" vielleicht besser das "aleph" sein. --Exxu 11:23, 17. Feb. 2008 (CET)

Danke Exxu, habe ich gleich erledigt. --Heuerli 11:37, 17. Feb. 2008 (CET)

Euklid's Elemente gibt es auch bei Wikisource

Wie wäre es, wenn man das nimmt: The Elements of Euclid ? ----Erkan Yilmaz Wikiversity:Chat 18:25, 22. Feb. 2008 (CET)

Wofür sollen den Euklids Elemente genommen werden? Was haben sie mit Mengen zu tun? --Heuerli 12:42, 24. Feb. 2008 (CET)

Das ist eine gute Frage, gemeint war dies. ----Erkan Yilmaz Wikiversity:Chat 12:45, 24. Feb. 2008 (CET)

Ach so – das. Danke Erkan, ein prima Link. Gruß --Heuerli 12:36, 26. Feb. 2008 (CET)

Kritik

Was soll diese Seite vermitteln? Die Mengenlehre wird auf der Projektseite als grundlegender Einstieg empfohlen. Aber Grundlagen werden nicht vermittelt, alles zielt auf das Kontinuum.

Den Abschnitt, daß 12:00Uhr keine Ausdehnung hat, nicht gerade einfach für Laien. (siehe Zielgruppe). Das mathematische Konzept des Punktes, der keine Ausdehnung hat, halte ich so nicht für verständlich. Es (das Konzept) ist aber auch gar nicht nötig, wenn man Begriffe wie endlich, abzählbar und überabzählbar erklären will.

Es wird gar nicht darauf eingegangen, wie man die Mächtigkeit von Mengen vergleicht. Da gehört nämlich das Bild vom Ziegen-zählenden Hirten hin, zusammen mit dem Hinweis, daß man von Zahlen und vom Zählen erstmal keine Ahnung zu haben braucht. Das ist auf der Rechnen-Seite. Nachtrag: Ach, im vorletzten Absatz.

Ich finde es sehr verwirrend, daß $\aleph _{1}\$ und ${\mathcal {N}}_{1}\$ so ähnlich aussehen. Gibt es einen Grund für das Mathcal 1?

Was ist mit dem Abschluß nach unendlich vielen Schritten? Die Konstruktion von aleph_1 sieht für mich wie der Fehlschluß $\textstyle \infty \in \bigcup _{n=0}^{\infty }$ aus.

Ab "Weg zum Kontinuum" wirkt der Artikel sehr konfus. Da ist mal von Potenzmengen die Rede, dann werden abzahlbare Menge vereinigt; all dies ohne das Vereinigungen oder Potenzmengen mal erklärt zu haben. "Trotz Allem ergibt sich die Erkenntnis: „Die Vereinigung von zwei abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar.“" Diese Erkenntnis ergibt sich mir nicht. Bereits die Formulierung "Trotz allem" zeugt von Chaos. Das wird irgendwas angerissen und dann etwas anderes als Erkenntnis angesetzt. FrankyS 18:35, 14. Mär. 2008 (CET)

Danke für die Kritik FrankyS. Das Projekt dient nicht der Erklärung mathematischer Grundlagen; es ist als Einstieg für alle gedacht, die sich mit Mathematik auseinander setzen wollen. Es sollen keine unmittelbaren Erkenntnisse beim Leser „erzeugt“ werden. Die einzelnen Punkte werden – wie Du bereits erkanntest – kurz angerissen. Für die wenigen Punkte, die ins Detail gehen sind entsprechende Artikel angeführt (Syllogismen bis zu den Shegalkin-Polynomen, Peirce-Zahlen für die Strukturen der rationalen Werte). Alle weiteren erklärungsbedürftigen Begriffe besitzen WP-Links.

Der „ziegenzählende Hirte“ war tatsächlich der Ursprung der calculi und damit auch der Urvater der abtrakten Abbildungen. Ihn nur mit der Mächtigkeit oder den Kardinalzahlen in Verbindung zu bringen würde ihm nicht gerecht werden. Die Menge ${\mathcal {N}}\$ soll einerseits die Nähe zu $\mathbb {N} \$ und der (falsch) konstruierten Kardinalzahl des Kontinuums $\aleph _{1}\$ verdeutlichen (siehe angeführten Artikel). Wenn Du uns die Stringenz absprichst und meinst mit Konfusem und Chaotischem konfrontiert zu sein, beteilige Dich doch an dem Projekt. Mach konstruktive Vorschläge, stelle sie zur Diskussion, zeige präzise (verlinkte) Schwachstellen auf. Wir würden das begrüßen. Gruß --Heuerli 17:18, 23. Mär. 2008 (CET)