Projektive Gerade/C/Meromorphe Differentialform/Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist ${}z^{-1}dz$ eine globale meromorphe Differentialform. Es sei ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V$ die Standardüberdeckung. Auf ${}U\setminus \{0\}$ ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung ${}1$. Auf ${}V$ mit dem lokalen Parameter ${}w=z^{-1}$ ist

${}z^{-1}dz=wdw^{-1}=w{\left(-{\frac {1}{w^{2}}}\right)}dw=-w^{-1}dw\,,$

im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung ${}1$ vor. Diese Form definiert im Sinne von Fakt die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger ${}\{0,\infty \}$ und den Werten ${}z^{-1}dz$ in ${}0$ und ${}-w^{-1}dw$ in ${}\infty$. Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt ${}0$ den Wert ${}z^{-1}dz$ besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her (dies folgt auch sofort aus Fakt). Eine solche müsste nämlich auf ${}V$ eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form ${}hdw$ mit einer holomorphen ganzen Funktion auf ${}V\cong {\mathbb {C} }$, sagen wir

${}hdw=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}dw\,$

Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit ${}w=z^{-1}$ zeigt, in ${}0\in U$ einen Pol der Ordnung ${}\geq 2$. Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt ${}0$ den Wert ${}z^{-2}dz$ besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da

${}z^{-2}dz=w^{2}dw^{-1}=-dw\,$

eine holomorph Differentialform ist.