Projektive Gerade/Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Beispiel

Aus Fakt und Fakt folgt, dass sich jede Hauptteilverteilung auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, also jede Vorgabe von Hauptteilen ${}H_{i}$ an endlich vielen Punkten ${}P_{i}$ durch eine meromorphe Funktion realisieren lässt, wobei nach Fakt diese Funktion sogar eine rationale Funktion ist. Diese kann man auch explizit angeben, wobei nur der Fall von einem Punkt zu betrachten ist, da sich der allgemeine Fall durch Addition der rationalen Funktionen ergibt. Besonderes übersichtlich ist die Situation, wenn der Hauptteil im unendlich fernen Punkt ${}\infty =(1,0)$ konzentriert ist, sagen wir in der Form ${}\sum _{i=n}^{-1}c_{i}w^{i}$ mit dem lokalen Parameter ${}w=z^{-1}$. Diese Funktion ist direkt

${}\sum _{i=n}^{-1}c_{i}w^{i}=\sum _{i=n}^{-1}c_{i}z^{-i}=\sum _{j=1}^{-n}c_{-j}z^{j}\,,$

d.h. auch, dass sich der Hauptteil sogar mit einem Polynom auf dem Komplement realisieren lässt. Wegen der Homogenität der projektiven Räume gilt das dann für alle Punkte. Wenn der Hauptteil in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }=D_{+}(z)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ konzentriert ist und durch ${}\sum _{i=n}^{-1}c_{i}(z-a)^{i}$ repräsentiert ist, so kann man dies direkt als eine rationale Realisierung des Hauptteiles übernehmen, da die ${}(z-a)^{i}$ zu ${}i$ negativ nur in ${}a$ einen Pol haben. Wenn aber die Hauptverteilung durch eine rationale Funktion oder ein invertiertes Polynom gegeben ist, muss man vorsichtiger sein. Betrachten wir die Hauptverteilung, die im Nullpunkt konzentriert ist und dort durch ${}{\frac {1}{z^{2}-z}}$ repräsentiert wird. Die rationale Funktion ${}{\frac {1}{z^{2}-z}}$ ist keine Realisierung auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ für diese Hauptteilverteilung, da sie auch in ${}z=1$ einen Pol besitzt. Zur rechnerischen Bestimmung einer realisierenden rationalen Funktion muss man mit der Partialbruchzerlegung arbeiten, siehe Fakt. Im vorliegenden Fall schreibt man

${}{\frac {1}{z^{2}-z}}=-{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}\,,$

es ist dann also ${}-{\frac {1}{z}}$ eine rationale Realisierung dieser Hauptteilverteilung (die beiden Funktionen ${}{\frac {1}{z^{2}-z}}$ und ${}-{\frac {1}{z}}$ unterscheiden sich im Nullpunkt nur um die dort holomorphe bzw. polstellenfreie rationale Funktion ${}{\frac {1}{z-1}}$, und bei der Realisierung einer Hauptteilverteilung kommt es nur darauf an).