Projektive Varietäten/Affine Überdeckung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine projektive Varietät ist eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge

wobei ein homogenes Ideal in ist.

Eine projektive Varietät ist also die Nullstellenmenge im projektiven Raum einer (endlichen) Menge von homogenen Polynomen.

Über die induzierte Topologie ist eine projektive Varietät wieder mit einer Zariski-Topologie versehen. Die offenen Mengen haben wieder die Form zu einem homogenen Ideal aus bzw. aus dem Restklassenring , den man auch den homogenen Koordinatenring zu nennt. Insbesondere definiert jedes homogene Element eine offene Menge .



Lemma  

Es sei eine projektive Varietät.

Dann liefern die affinen Räume affine Varietäten

die überdecken.

Insbesondere gibt es zu jedem Punkt und jeder offenen Umgebung affine offene Umgebungen von innerhalb von .

Beweis  

Es ist

wobei links die zugehörige offene Menge in steht und rechts die entsprechende offene Teilmenge des projektiven Raumes. Daher ist eine abgeschlossene (siehe Aufgabe) Teilmenge des affinen Raumes und als solche selbst eine affine Varietät. Da die , den projektiven Raum überdecken, gilt dies auch für die Durchschnitte mit .