Projektive Varietäten/Affine Überdeckung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine projektive Varietät ist eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge

${}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,,$

wobei ${}{\mathfrak {a}}$ ein homogenes Ideal in ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.

Eine projektive Varietät ${}Y$ ist also die Nullstellenmenge im projektiven Raum einer (endlichen) Menge von homogenen Polynomen.

Über die induzierte Topologie ist eine projektive Varietät wieder mit einer Zariski-Topologie versehen. Die offenen Mengen haben wieder die Form ${}D_{+}({\mathfrak {b}})$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {b}}$ aus ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bzw. aus dem Restklassenring ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$, den man auch den homogenen Koordinatenring zu ${}V_{+}({\mathfrak {a}})$ nennt. Insbesondere definiert jedes homogene Element ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine offene Menge ${}D_{+}(F)\subseteq Y$.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine projektive Varietät.

Dann liefern die affinen Räume ${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ affine Varietäten

$D_{+}(X_{i})\cap Y,$

die ${}Y$ überdecken.

Insbesondere gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Y$ und jeder offenen Umgebung ${}P\in U$ affine offene Umgebungen von ${}P$ innerhalb von ${}U$.

Beweis

Es ist

${}D_{+}(X_{i})=D_{+}(X_{i})\cap Y\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cap Y\,,$

wobei links die zugehörige offene Menge in ${}Y$ steht und rechts die entsprechende offene Teilmenge des projektiven Raumes. Daher ist ${}D_{+}(X_{i})\cap Y$ eine abgeschlossene (siehe Aufgabe) Teilmenge des affinen Raumes ${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und als solche selbst eine affine Varietät. Da die $D_{+}(X_{i}),\,i=0,\ldots ,n$, den projektiven Raum überdecken, gilt dies auch für die Durchschnitte mit ${}Y$.

$\Box$