Projektiver Raum/Bijektive lineare Abbildung/Automorphismus/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Automorphismus

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \varphi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

   induziert.

2. Bestimme das Urbild von ${}D_{+}(X_{i})$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
3. Zeige, dass ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\neq 0$ ineinander überführbar sind.
4. Induziert jede lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ einen Morphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$?

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