Projektiver Raum/Bijektive lineare Abbildung/Automorphismus/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb{P}}_K^n$ der zugehörige projektive Raum. Es sei $\phi :K^{n+1}\to K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.

a) Zeige, dass $\phi$ einen Automorphismus

$\phi :{\mathbb{P}}_K^n⟶{\mathbb{P}}_K^n,(x_0,x_1,\dots ,x_n)⟼\phi (x_0,x_1,\dots ,x_n),$

induziert.

b) Bestimme das Urbild von $D_{+}(X_i)$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?

c) Zeige, dass ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\ne 0$ ineinander überführbar sind.

d) Induziert jede lineare Abbildung $\phi :K^{n+1}\to K^{n+1}$ einen Morphismus $\phi :{\mathbb{P}}_K^n\to {\mathbb{P}}_K^n$?

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