Projektiver Raum/Hyperfläche/Divisor/Invertierbare Untergarbe/Aufgabe

Es sei

${}D=\sum _{Y}a_{Y}\cdot Y=\sum _{j}a_{j}\cdot Y_{j}=\sum _{j}a_{j}\cdot V_{+}(G_{j})\,$

ein Weildivisor des projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$, wobei die beteiligten Primdivisoren durch homogene Primelemente ${}G_{j}\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ beschrieben werden. Wir betrachten das Polynom ${}G:=\prod _{j}G_{j}^{a_{j}}$ vom Grad ${}\delta =\sum _{j}a_{j}\operatorname {grad} \,(G_{j})$. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Untergarbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ in der Funktionenkörpergarbe im Sinne von Fakt mit der Realisierung der getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(-\delta )$ durch Multiplikation mit ${}G$ aus Beispiel übereinstimmt.

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