Projektiver Raum/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge ${}U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers

${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom ${}f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

${}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,$

(daei ist hier  ${}f=1$  erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise ${}D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Fakt ist der globale Schnittring gleich

${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)=\Gamma \left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)=\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Sei  ${}\ell \in \mathbb {Z}$  fixiert. Wir definieren eine Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch

${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)=\Gamma \left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right):=\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)_{\ell }\,.$

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf ${}D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$) ist nämlich

$\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)_{0}\longrightarrow \left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},$

ein ${}\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)_{0}$-Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${}\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)_{\ell }$, was zeigt, dass (bei ${}n\geq 1$) diese invertierbaren Garben zu  ${}\ell \geq 0$  nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ${}\ell$).