Projektiver Raum/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge ${}U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom ${}f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

${}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,$

(daei ist hier ${}f=1$ erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise ${}D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Fakt ist der globale Schnittring gleich

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Sei ${}\ell \in \mathbb {Z}$ fixiert. Wir definieren eine Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}:={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{\ell }\,.$

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf ${}D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$) ist nämlich

${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},$

ein ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}$-Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}_{\ell }$, was zeigt, dass (bei ${}n\geq 1$) diese invertierbaren Garben zu ${}\ell \geq 0$ nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ${}\ell$).