Projektiver Raum/Körper/Divisorenklassengruppe/Beispiel

Wir wollen die Weildivisoren und die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem Körper ${}K$ verstehen (${}d\geq 1$). Wir betrachten die disjunkte Zerlegung

${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}=D_{+}(X_{0})\cup V_{+}(X_{0})={{\mathbb {A} }_{K}^{d}}\cup {\mathbb {P} }_{K}^{d-1}\,,$

d.h. wir fixieren die Hyperebene

${}H=V_{+}(X_{0})\cong {\mathbb {P} }_{K}^{d-1}\,$

im „Unendlichen“. Ein Primdivisor des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe ${}1$ im Polynomring ${}K[{\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{0}}}]$ aufgefasst werden. Jede Funktion ${}f$ des Funktionenkörpers lässt sich (bis auf Skalierung und kürzen) eindeutig als ${}f={\frac {P}{Q}}$ mit Polynomen ${}P,Q\in K[{\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{0}}}]$ schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu ${}P$ und ${}Q$ kann man direkt

${}f=\prod _{i=1}^{n}cP_{i}^{\nu _{i}}\,$

(mit einer Konstanten ${}c\neq 0$ und ${}\nu _{i}\in \mathbb {Z}$) schreiben und daraus den Hauptdivisor zu ${}f$ ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die („unendlich ferne“) Ordnung von ${}f$ an ${}V_{+}(X_{0})$ ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist

${}{\begin{aligned}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{((X_{0}))}&={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\setminus (X_{0})\cap {\text{ homogene Elemente }}}\right)}_{0}\\&=K{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{1}}}\right)}[{\frac {X_{0}}{X_{1}}}]_{\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}.\end{aligned}}$

Man schreibt ${}P$ (bzw. ${}Q$ oder ${}f$), indem man überall ${}{\frac {X_{i}}{X_{0}}}$ durch ${}{\frac {X_{i}}{X_{1}}}\cdot {\frac {X_{1}}{X_{0}}}$ ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper ${}K{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{1}}}\right)}$ in der einen Variablen ${}{\frac {X_{0}}{X_{1}}}$. Der (typischerweise negative) Grad bezüglich ${}{\frac {X_{0}}{X_{1}}}$ ist die Ordnung.

Beispielsweise ist bei

${}P={\frac {X_{1}}{X_{0}}}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{0}}}\right)}^{3}={\frac {X_{1}}{X_{0}}}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}\right)}^{3}{\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}\right)}^{3}={\left({\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}\right)}^{3}\right)}{\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}^{-3}\,$

und die Ordnung ist ${}-3$. Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor linear äquivalent zu einem Divisor der Form ${}nV_{+}(X_{0})$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ (die Klasse zu ${}V_{+}(X_{0})$ nennt man auch die Hyperebenenklasse.). Ein solcher Divisor ist aber bei ${}n\neq 0$ kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung ${}0$. Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also ${}\mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.