Projektiver Raum/Körper/Divisorenklassengruppe/Beispiel

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Wir wollen die Weildivisoren und die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes über einem Körper verstehen (). Wir betrachten die disjunkte Zerlegung

d.h. wir fixieren die Hyperebene

im „Unendlichen“. Ein Primdivisor des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe im Polynomring aufgefasst werden. Jede Funktion des Funktionenkörpers lässt sich (bis auf Skalierung und kürzen) eindeutig als mit Polynomen schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu und kann man direkt

(mit einer Konstanten und ) schreiben und daraus den Hauptdivisor zu ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die („unendlich ferne“) Ordnung von an ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist

Man schreibt (bzw. oder ), indem man überall durch ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper in der einen Variablen . Der (typischerweise negative) Grad bezüglich ist die Ordnung.

Beispielsweise ist bei

und die Ordnung ist . Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor linear äquivalent zu einem Divisor der Form mit (die Klasse zu nennt man auch die Hyperebenenklasse.). Ein solcher Divisor ist aber bei kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung . Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also , als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.