Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und  $F\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die affine Hyperfläche

   $V(F)=\mathrm{Spek}(K[X_0,X_1,\dots ,X_n]/(F))\subseteq {𝔸}_K^{n+1}$

   ist außerhalb des Nullpunktes glatt.

2. Die projektive Hyperfläche  $Y=V_{+}(F)=\mathrm{Proj}(K[X_0,X_1,\dots ,X_n]/(F))\subseteq {\mathbb{P}}_K^n$  ist glatt.
3. Für jede Variable $X_i$ ist $K[X_0,\dots ,X_{i-1},X_{i+1},\dots ,X_n]/({\tilde{F}}_i)$ glatt, wobei

   ${\tilde{F}}_i=F\frac{1}{X_i}$

   die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich $X_i$ bezeichnet.

4. Der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{Y/K}$ ist lokal frei.
5. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\stackrel{}{⟶}{𝒪}_Y(-d)\stackrel{}{⟶}{j}_Y^{\ast }{\mathrm{\Omega }}_{{\mathbb{P}}_K^n/K}\stackrel{}{⟶}{\mathrm{\Omega }}_{Y/K}\stackrel{}{⟶}0$

   von lokal freien Garben auf $Y$ vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen