Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die affine Hyperfläche

   ${}V(F)=\operatorname {Spek} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\,$

   ist außerhalb des Nullpunktes glatt.

2. Die projektive Hyperfläche ${}Y=V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist glatt.
3. Für jede Variable ${}X_{i}$ ist ${}K[X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{n}]/({\tilde {F}}_{i})$ glatt, wobei

   ${}{\tilde {F}}_{i}=F{\frac {1}{X_{i}}}\,$

   die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich ${}X_{i}$ bezeichnet.

4. Der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{Y{|}K}$ ist lokal frei.
5. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}(-d)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{Y{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von lokal freien Garben auf ${}Y$ vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen