Projektiver Raum/Linearer Automorphismus/Eigenvektor/Fixpunkt/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung und

$\psi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \psi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

der zugehörige Automorphismus. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in K^{n+1}$ genau dann ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein Fixpunkt von ${}\psi$ ist.

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