Projektiver Raum/R oder C/Offen überdeckt und Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Das Urbild von unter der kanonischen Abbildung ist , also das Komplement eines -dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen

Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit der Abbildung zu zeigen. Sei also offen und das zugehörige Bild in . Die Offenheit von ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild von offen ist. Diese Menge besteht aus allen Punkten in , die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus liegen. Sei ein solcher Punkt, und mit und . Sei eine offene Ballumgebung um in . Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in offen und liegt ganz in .