Projektiver Raum/R oder C/Offen überdeckt und Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Das Urbild von $D_{+}(X_i)$ unter der kanonischen Abbildung ${𝔸}_{𝕂}^{n+1}\setminus \{0\}\to {\mathbb{P}}_{𝕂}^n$ ist $D(X_i)$, also das Komplement eines $n$-dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen

${𝕂}^n\cong V(X_i-1)\subset D(X_i)⟶D_{+}(X_i).$

Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und $D_{+}(X_i)$ trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit der Abbildung zu zeigen. Es sei also  $U\subseteq V(X_i-1)\cong {𝕂}^n$  offen und $U^{\prime }$ das zugehörige Bild in $D_{+}(X_i)$. Die Offenheit von $U^{\prime }$ ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild  $U^{\prime \prime }\subseteq D(X_i)$  von $U^{\prime }$ offen ist. Diese Menge $U^{\prime \prime }$ besteht aus allen Punkten in $D(X_i)$, die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus $U$ liegen. Es sei $Q$ ein solcher Punkt, und $Q=\lambda P$ mit $P\in U$ und  $\lambda \in {𝕂}^{\times }$.  Es sei $B$ eine offene Ballumgebung um $P$ in $V(X_i-1)$. Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in $D(X_i)$ offen und liegt ganz in $U^{\prime \prime }$.

Zur bewiesenen Aussage