Projektiver Raum/R oder C/Offen überdeckt und Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Das Urbild von ${}D_{+}(X_{i})$ unter der kanonischen Abbildung ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {K} }^{n+1}}\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$ ist ${}D(X_{i})$, also das Komplement eines ${}n$-dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen

${\mathbb {K} }^{n}\cong V(X_{i}-1)\subset D(X_{i})\longrightarrow D_{+}(X_{i}).$

Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und ${}D_{+}(X_{i})$ trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit der Abbildung zu zeigen. Es sei also ${}U\subseteq V(X_{i}-1)\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}U'$ das zugehörige Bild in ${}D_{+}(X_{i})$. Die Offenheit von ${}U'$ ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild ${}U^{\prime \prime }\subseteq D(X_{i})$ von ${}U'$ offen ist. Diese Menge ${}U^{\prime \prime }$ besteht aus allen Punkten in ${}D(X_{i})$, die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus ${}U$ liegen. Es sei ${}Q$ ein solcher Punkt, und $Q=\lambda P$ mit $P\in U$ und ${}\lambda \in {\mathbb {K} }^{\times }$. Es sei ${}B$ eine offene Ballumgebung um ${}P$ in ${}V(X_{i}-1)$. Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in ${}D(X_{i})$ offen und liegt ganz in ${}U^{\prime \prime }$.

Zur bewiesenen Aussage