Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Definition

Quotiententopologie

Es sei ${}(X,\tau )$ ein topologischer Raum und ${}R\subseteq X\times X$ eine Äquivalenzrelation auf ${}X$. Es sei weiter ${}q_{R}\colon X\to X/R$ die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${}\tau _{R}$ auf ${}X/R$: Für eine Teilmenge ${}U\subseteq Y$ gilt ${}U\in \tau _{R}$ genau dann, wenn ${}q_{R}^{-1}(U)\in \tau$ gilt. Es läßt sich leicht nachweisen, dass ${}\tau _{R}$ eine Topologie ist. Sie heißt Quotiententopologie, und der topologische Raum ${}(X/R,\tau _{R})$ ist ein Quotientenraum von ${}(X,\tau )$.