Punktierte komplexe Zahlen/Potenzüberlagerung/Garbenversion/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert, wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,1,$

wobei rechts die ${}n$-te komplexe Potenzierung steht und ${}E_{n}$ die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln bezeichnet, die zur zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph ist. Es liegt die Situation aus Fakt vor, d.h. auf jedem topologischen Raum ${}X$ erhält man eine kurze exakte Garbensequenz

$1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,1.$

Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz

$1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,1,$

wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in ${}E_{n}\cong \mathbb {Z} /(n)$ steht.