Punktierte komplexe Zahlen/Potenzüberlagerung/Garbenversion/Beispiel

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  fixiert, wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$1\stackrel{}{⟶}{E}_n\stackrel{}{⟶}{ℂ}^{\times }\stackrel{z^n}{⟶}{ℂ}^{\times }\stackrel{}{⟶}1,$

wobei rechts die $n$-te komplexe Potenzierung steht und $E_n$ die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln bezeichnet, die zur zyklischen Gruppe $\mathbb{Z}/(n)$ isomorph ist. Es liegt die Situation aus Fakt vor, d.h. auf jedem topologischen Raum $X$ erhält man eine kurze exakte Garbensequenz

$1\stackrel{}{⟶}{C}^0(-,E_n)\stackrel{}{⟶}{C}^0(-,{ℂ}^{\times })\stackrel{z^n}{⟶}{C}^0(-,{ℂ}^{\times })\stackrel{}{⟶}1.$

Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz

$1\stackrel{}{⟶}{C}^0(-,E_n)\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X^{\times }\stackrel{z^n}{⟶}{𝒪}_X^{\times }\stackrel{}{⟶}1,$

wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in  $E_n\cong \mathbb{Z}/(n)$  steht.