Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ und die Surjektion ${}p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element ${}h\in H$ eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu ${}p$ gibt.

Dann ist für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen