Pythagoreische Tripel/Übersicht und Parametrisierung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung der diophantischen Gleichung

Es heißt primitiv, wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Pell right triangles.svg

Bemerkung  

Lösungstripel, bei denen (mindestens) ein Eintrag ist, heißen trivial. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras bildet ein solches Tripel die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreieckes. Es geht also um rechtwinklige Dreiecke mit der Eigenschaft, dass alle drei Seiten eine ganzzahlige Länge haben (dabei sind die Seitenlängen der Katheten und ist die Seitenlänge der Hypotenuse). Das bekannteste pythagoreische Tripel ist zweifellos . Wenn zwei Zahlen davon einen gemeinsamen Teiler haben, so hat natürlich auch die dritte diesen Teiler, und das Tripel ist nicht primitiv.


Ferner sind und nicht zugleich ungerade, siehe Aufgabe.

Die roten Punkte sind primitive pythagoreische Tripel, die blauen nicht-primitive


Wir wollen alle (primitiven) pythagoreischen Tripel finden. Man kann das Problem umformulieren, indem man durch teilt. Dann ist das Problem äquivalent zu:

Bestimme alle rationalen Lösungen für die Gleichung

Es geht also um alle Punkte auf dem Einheitskreis (in der Ebene mit Mittelpunkt und Radius , deren beide Koordinaten rationale Zahlen sind. Die trivialen Lösungen sind die komplexen Zahlen .

Bemerkung  

Der (Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen für ihn, etwa durch

oder die trigonometrische Parametrisierung

Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind.

Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt auf der -Achse auf den Durchstoßungspunkt abbildet, den der Einheitskreis mit der durch und definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung

bzw. . Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man

und damit

Da uns die erste Lösung nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor

die zu

führt. Die Abbildung

ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.


Kreis TdM.png

Wir fassen zusammen:


Satz

Die Abbildung

von der Menge der rationalen Zahlen in die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten ist injektiv, und mit der Ausnahme von liegt jeder Punkt im Bild.

Beweis

Dies wurde bereits oben bewiesen, die Injektivität ist klar von der geometrischen Interpretation her und ist als Aufgabe zu beweisen.




Korollar  

Die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten bilden eine dichte Teilmenge.

Beweis  

Die Parametrisierung

ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Sei ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Sei also , und sei eine reelle Zahl mit . Sei vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein derart, dass die Ballumgebung nach hinein abgebildet wird, also . Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl . Dann ist ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der -Umgebung von liegt.