Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Wir können annehmen, dass die Exponenten mit einem gemeinsamen Nenner vorliegen, also  ${}q={\frac {r}{s}}$  und  ${}q'={\frac {t}{s}}$.  Dann ist unter Verwendung von Fakt  (4) (angewendet für die Basis ${}{\sqrt[{s}]{b}}$ und die ganzzahligen Exponenten ${}r$ und ${}t$)

   ${}{\begin{aligned}b^{q}\cdot b^{q'}&=b^{\frac {r}{s}}\cdot b^{\frac {t}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{t}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r+t}\\&=b^{\frac {r+t}{s}}\\&=b^{q+q'}.\end{aligned}}$

2. Sei  ${}q={\frac {r}{s}}$.  Dann ist unter Verwendung von Fakt  (5)

   ${}b^{-q}=b^{-{\frac {r}{s}}}={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{-r}={\frac {1}{{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}}}={\frac {1}{b^{\frac {r}{s}}}}={\frac {1}{b^{q}}}\,.$

3. Sei

   ${}q={\frac {r}{s}}>0\,,$

   also  ${}r,s\geq 1$.  Mit  ${}b>1$  ist nach Fakt  (8) auch  ${}b^{r}>1$  und davon ist auch die ${}s$-te Wurzel ${}>1$.

4. Wird ähnlich wie (3) begründet.
5. Dies folgt aus (1) und (3). Es sei nämlich  ${}q'>q$.  Dann ist

   ${}q'=q+u\,$

   mit  ${}u>0$.  Dann ist

   ${}b^{q'}=b^{q+u}=b^{q}b^{u}>b^{q}\,.$

6. Wird ähnlich wie (5) begründet.
7. Sei  ${}q={\frac {r}{s}}$  und  ${}q'={\frac {t}{u}}$.  Dann ist unter Verwendung von Fakt  (4) und Fakt  (1)

   ${}{\begin{aligned}{\left(b^{q}\right)}^{q'}&={\left(b^{\frac {r}{s}}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\sqrt[{u}]{{\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{t}}}\\&={\sqrt[{u}]{{\sqrt[{s}]{b}}^{rt}}}\\&={\sqrt[{u}]{\sqrt[{s}]{b^{rt}}}}\\&={\sqrt[{us}]{b^{rt}}}\\&=b^{\frac {rt}{us}}\\&=b^{qq'}.\end{aligned}}$

8. Mit

   ${}q={\frac {r}{s}}\,$

   ist unter Verwendung von Fakt  (2) und Fakt  (5)

   ${}{\begin{aligned}(ab)^{q}&=(ab)^{\frac {r}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{ab}}\right)}^{r}\\&={\left({\sqrt[{s}]{a}}{\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}\\&={\sqrt[{s}]{a}}^{r}{\sqrt[{s}]{b}}^{r}\\&=a^{q}b^{q}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage