Beweis
Nach Voraussetzung ist
ein zweidimensionaler
-Vektorraum. Wir können das Element
zu einer
-Basis
von
ergänzen
(mit
).
Wegen
hat man eine Darstellung
-
![{\displaystyle {}u^{2}=au+b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8db9339071c59e0ed3fb59fc39a1edf367ee3e)
mit eindeutig bestimmten Elementen
.
Damit ist
isomorph zum Restklassenring
.
Ist das Polynom
irreduzibel
über
, so ist
ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung
mit
.
Bei
kann man die Restklasse von
(also
)
als
bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja
gilt. Es sei also
vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden
-Algebrahomomorphismen
,
,
und
,
,
einen Homomorphismus
-
Dieser ist surjektiv, da
und
-
![{\displaystyle {}\varphi (u)=(c,d)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9f14f85dfb57624eb90596172eac6a65ca80f)
ist und diese Bildvektoren linear unabhängig über
sind, also eine Basis von
bilden. Damit ist
aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.