Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Nach Voraussetzung ist ein zweidimensionaler -Vektorraum. Wir können das Element zu einer -Basis von ergänzen (mit ). Wegen hat man eine Darstellung

mit eindeutig bestimmten Elementen . Damit ist isomorph zum Restklassenring . Ist das Polynom irreduzibel über , so ist ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung mit . Bei kann man die Restklasse von (also ) als bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja gilt. Sei also vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden -Algebrahomomorphismen , , und , , einen Homomorphismus

Dieser ist surjektiv, da und ist und diese Bildvektoren linear unabhängig über sind, also eine Basis von bilden. Damit ist aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.