Nach Voraussetzung ist
ein zweidimensionaler
-Vektorraum. Wir können das Element
zu einer
-Basis
von
ergänzen
(mit
).
Wegen
hat man eine Darstellung
-

mit eindeutig bestimmten Elementen
. Damit ist
isomorph zum Restklassenring
.
Ist das Polynom
irreduzibel
über
, so ist
ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung
mit
. Bei
kann man die Restklasse von
(also
)
als
bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja
gilt. Sei also
vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden
-Algebrahomomorphismen
,
,
und
,
,
einen Homomorphismus
-
Dieser ist surjektiv, da
und
ist und diese Bildvektoren linear unabhängig über
sind, also eine Basis von
bilden. Damit ist
aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.