Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}L$ ein zweidimensionaler ${}K$-Vektorraum. Wir können das Element  ${}1\in K\subset L$  zu einer ${}K$-Basis ${}1,u$ von ${}L$ ergänzen (mit ${}u\notin K$). Wegen  ${}u^{2}\in L$  hat man eine Darstellung

${}u^{2}=au+b\,$

mit eindeutig bestimmten Elementen  ${}a,b\in K$.  Damit ist ${}L$ isomorph zum Restklassenring  ${}L\cong K[U]/(U^{2}-aU-b)$.  Ist das Polynom  ${}P=U^{2}-aU-b$  irreduzibel über ${}K$, so ist ${}L$ ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung  ${}P=(U-c)(U-d)$  mit  ${}c,d\in K$.  Bei  ${}c=d$  kann man die Restklasse von ${}U-c$ (also $u-c$) als ${}\epsilon$ bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja  ${}\epsilon ^{2}=0$  gilt. Es sei also  ${}c\neq d$  vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden ${}K$-Algebrahomomorphismen ${}\varphi _{1}\colon L\longrightarrow K$, ${}u\longmapsto c$, und ${}\varphi _{2}\colon L\longrightarrow K$, ${}u\longmapsto d$, einen Homomorphismus

$\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon L\longrightarrow K\times K.$

Dieser ist surjektiv, da  ${}\varphi (1)=(1,1)$  und

${}\varphi (u)=(c,d)\,$

ist und diese Bildvektoren linear unabhängig über ${}K$ sind, also eine Basis von ${}K\times K$ bilden. Damit ist ${}\varphi$ aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.

Zur bewiesenen Aussage