Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Ideal/Basis/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$ das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine ${}\mathbb {Z}$-Basis im Sinne von Fakt vorliegt. Die Norm dieses Ideals ist ${}2$. Die Normen der beiden Elemente sind

${}N(2)=4\,$

und

${}N(1+{\sqrt {-5}})=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6\,.$