Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Ideal/Basis/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu  ${}D=-5$  das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine ${}\mathbb {Z}$-Basis im Sinne von Fakt vorliegt. Die Normen der beiden Elemente sind

${}N(2)=4\,$

und

${}N(1+{\sqrt {-5}})=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})=6\,.$

Der Restklassening ist

${}A_{-5}/{\mathfrak {p}}=A_{-5}/(2,1+{\sqrt {-5}})=\mathbb {Z} /(2)[{\sqrt {-5}}]/{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}=\mathbb {Z} /(2)\,$

und besitzt zwei Elemente. Da dieser Restklassenring ein Körper ist, ist ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal.