Wir betrachten im
quadratischen Zahlbereich
zu
das
Ideal
,
das nach
Beispiel
kein Hauptideal ist. Es sei
der ganze Abschluss von
(oder von
)
im Erweiterungskörper
vom Grad vier über
. Wir haben also eine Kette
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset R\subset S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8a3b00d90bfea8dd693979c609900d9efa9ec9)
von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das
Erweiterungsideal
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}S=(2,1+{\sqrt {-5}})S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f12257c63af77c6f1689e452c2cf53d02e5c3e)
ein Hauptideal in
ist, und zwar behaupten wir, dass
ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element
.
Wegen
-
![{\displaystyle {}z^{2}={\left({\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {-5}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {2-2\cdot 5+4{\sqrt {-5}}}{4}}=-2+{\sqrt {-5}}\in R\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbbdf13ca8e082305997fb146134bbb7c782cc0)
erfüllt
eine Ganzheitsgleichung über
und gehört somit zu
(ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht).
Die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}S=({\sqrt {2}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f294fb0c0f9322e18337730555dcd23d42f0453)
folgt einerseits aus
-
![{\displaystyle {}2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756c22d5efb83401f501112873d2e734361ca44a)
und
-
![{\displaystyle {}1+{\sqrt {-5}}=z\cdot {\sqrt {2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c3d1d7911c882b01a72ba3d39edf592eebe98a)
und andererseits aus
-
![{\displaystyle {}-{\sqrt {2}}\cdot 2+{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{\sqrt {2}}}(1+{\sqrt {-5}})=-{\sqrt {2}}\cdot 2+{\frac {6}{\sqrt {2}}}=-{\sqrt {2}}\cdot 2+3\cdot {\sqrt {2}}={\sqrt {2}}(-2+3)={\sqrt {2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcbd43ca4d530d6e15ef15c86e5e71103e6b321)