Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Hauptideal nach Adjunktion von Wurzel(2)/Beispiel

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Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu das Ideal , das nach Beispiel kein Hauptideal ist. Es sei der ganze Abschluss von (oder von ) im Erweiterungskörper vom Grad vier über . Wir haben also eine Kette

von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das Erweiterungsideal

ein Hauptideal in ist, und zwar behaupten wir, dass ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element . Wegen

erfüllt eine Ganzheitsgleichung über und gehört somit zu (ebenso, wenn im Zähler da ein Minuszeichen steht). Die Gleichheit

folgt einerseits aus

und

und andererseits aus