Wir betrachten im
quadratischen Zahlbereich
zu
das
Ideal
,
das nach
Beispiel
kein Hauptideal ist. Es sei
der ganze Abschluss von
(oder von
)
im Erweiterungskörper
vom Grad vier über
. Wir haben also eine Kette
-

von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das
Erweiterungsideal
-

ein Hauptideal in
ist, und zwar behaupten wir, dass
ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element
.
Wegen
-

erfüllt
eine Ganzheitsgleichung über
und gehört somit zu
(ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht).
Die Gleichheit
-

folgt einerseits aus
-

und
-

und andererseits aus
-
