Quadratischer Zahlbereich/D mod 1/Kähler-Differential/Differente/Norm/Beispiel

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 0,1$ mit

${}D=1\mod 4\,$

und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${}A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})$ mit ${}y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ besitzt. Der Modul der Kähler-Differentiale ist daher nach Fakt gleich

${}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }=A_{D}/(2y-1)dy\,,$

der Annullator ist also ${}2y-1$. Die Norm von ${}2y-1$ ist gleich

${}\vert {(2y-1)\cdot (2{\overline {y}}-1)}\vert =\vert {{\sqrt {D}}(-{\sqrt {D}})}\vert =\vert {D}\vert \,,$

was nach Fakt der Betrag der Diskriminante von ${}A_{D}$ ist.