Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Logarithmische Abbildung/Beispiel

Zu quadratfreiem ${}D<0$ und zugehörigem imaginär-quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}\subseteq {\mathbb {C} }$ (vergleiche Beispiel) ist die logarithmische Gesamtabbildung durch

$A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a+b{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {D}\vert }})\longmapsto \ln \left(a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert \right),$

gegeben. Der minimale Wert von ${}a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ ist ${}1$ und das Bild der logarithmischen Abbildung liegt in ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$. Hieran sieht man erneut, dass es in ${}A_{D}$ nur Einheitswurzeln als Einheiten gibt, vergleiche Fakt.