Quadratwurzel aus p und q/Minimalpolynom der Summe/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}f^{2}=({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})^{2}=p+q+2{\sqrt {p}}{\sqrt {q}}=p+q+2{\sqrt {pq}}\,$

und

${}f^{4}=({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})^{4}=(p+q+2{\sqrt {pq}})^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}+4pq+4(p+q){\sqrt {pq}}\,.$

Es ist also ${}f^{4}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Linearkombination aus ${}1$ und ${}{\sqrt {pq}}$. Daher kann man ${}f^{4}$ auch als ${}\mathbb {Q}$-Linearkombination von ${}f^{0}=1$ und ${}f^{2}$ ausdrücken, und dies ergibt ein annullierendes Polynom wie gewünscht.

b) Es ist

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]\subset \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]\,,$

wobei die Teilerweiterungen den Grad zwei besitzen. Daher hat nach der Gradformel die Gesamterweiterung den Grad vier. Wegen

${}\mathbb {Q} [f]\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]\,$

kommt als Grad des Minimalpolynoms nur ${}1,2,4$ in Frage. Wegen ${}f^{2}=p+q+2{\sqrt {pq}}$ ist die irrationale Zahl ${}{\sqrt {pq}}\in \mathbb {Q} [f]$, so dass der Grad eins ausgeschlossen ist. Es ist

${}{\begin{aligned}f^{3}&={\left(p+q+2{\sqrt {pq}}\right)}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}\\&=(p+q)({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})+2{\sqrt {pq}}{\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}\\&=(p+q)({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}})+2p{\sqrt {q}}+2q{\sqrt {p}}\\&=(p+3q){\sqrt {q}}+(3p+q){\sqrt {p}}.\end{aligned}}$

Durch Subtraktion mit

${}(p+3q)f=(p+3q){\left({\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\right)}\,$

ergibt sich

$2(p-q){\sqrt {p}}\in \mathbb {Q} [f]$

und damit

${\sqrt {p}}\in \mathbb {Q} [f]$

und letztlich

${}\mathbb {Q} [f]=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]\,.$

Zur gelösten Aufgabe