R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Beispiel

Es sei ${}V$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$

Als Unterraum des ${}\mathbb {R} ^{3}$ trägt ${}V$ ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von ${}V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis aus den Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$

Es ist

${}\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =6\,,$

die Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander. Wir ersetzen ${}v_{2}$ durch

${}w_{2}=v_{2}-{\frac {\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle }{\Vert {v_{1}}\Vert ^{2}}}v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{5}}{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\,.$

Jetzt stehen ${}v_{1}$ und ${}w_{2}$ senkrecht aufeinander. Somit ist ${}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}$ und ${}{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$.