R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Nach Schmidt/Beispiel

Es sei ${}V$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$

Als Unterraum des ${}\mathbb {R} ^{3}$ trägt ${}V$ das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von ${}V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}\Vert {v_{1}}\Vert ={\sqrt {5}}$ und somit ist

${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\,$

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

${}{\begin{aligned}w_{2}&=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {6}{5}}\\0\\{\frac {12}{5}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Es ist

${}\Vert {w_{2}}\Vert =\Vert {\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {{\frac {36}{25}}+1+{\frac {9}{25}}}}={\sqrt {\frac {70}{25}}}={\frac {\sqrt {14}}{\sqrt {5}}}\,$

und daher ist

${}u_{2}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}\,$

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.