R^n/n-1-Form/Ableitung/Infinitesimale Bälle/Aufgabe

Es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}n-1$-Differentialform auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und sei die äußere Ableitung gleich

${}d\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige für ${}P\in U$ die Gleichheit

${}f(P)={\frac {1}{\beta _{n}}}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega \,,$

wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen

der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

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