Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir wollen das Volumen einer -dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius berechnen, also von

Wegen Fakt gilt dabei , d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Ihr Volumen bezeichnen wir mit . Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist ).

Wir betrachten
Für jedes fixierte , , kann man den Querschnitt als

schreiben, d.h. als eine -dimensionale Kugel vom Radius . Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

Dabei können wir das Integral rechts wegen Fakt und Fakt über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution liefert

Im Beweis zu Fakt wurden diese Integrale berechnet; mit gilt

Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als

schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Fakt.