R/Überabzählbar/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar, dann ist insbesondere auch das Einheitsintervall abzählbar. Sei also

eine surjektive Abbildung. Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als Reihe

wobei die -te Nachkommaziffer ist und wobei nicht fast alle Ziffern gleich sind (sonst hätte man keine Eindeutigkeit). Wir definieren nun eine reelle Zahl durch mit

Wir behaupten, dass diese Zahl nicht in der Aufzählung vorkommt. Für jedes ist nämlich , da sich nach Konstruktion von an der -ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist doch nicht surjektiv.
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