R mod Z2 pi/Isomorphiesatz/Beispiel

Der Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

ist surjektiv und aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist der Kern gleich ${}\mathbb {Z} 2\pi$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie

${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} 2\pi \cong S^{1}\,.$