Rationale Gruppenoperation/G(K)-stabiler endlicher Unterraum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den ${}K$-Algebrahomomorphismus

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,$

wobei ${}H$ die Hopf-Algebra zu ${}G$ sei. Es sei

${}N(f)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes f_{i}\,$

mit ${}a_{i}\in H$ und ${}f_{i}\in R$. Für jedes ${}g\in G(K)$ ist

${}fg=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})\otimes f_{i}=\sum _{i=1}^{n}g(a_{i})f_{i}\,,$

d.h. diese liegen alle in dem von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugten ${}K$-Untervektorraum von ${}R$. Der von all diesen ${}fg$, ${}g\in G(K)$, erzeugte Untervektorraum ist also ${}G(K)$-invariant und endlichdimensional.

Zur bewiesenen Aussage