Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Beispiel

Wir wenden Fakt bzw. Bemerkung auf ${}q={\frac {3}{7}}$ mit ${}k=9$ an. Es ist

${}{\frac {3}{7}}\cdot 10^{9}={\frac {3\cdot 10^{9}}{7}}\,,$

es ist also in ${}\mathbb {Z}$ die Division mit Rest von ${}3\cdot 10^{9}$ durch ${}7$ durchzuführen. Es ist

${}3\cdot 10^{9}=428571428\cdot 7+4\,$

(wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird). Es ist also

${}428571428\leq {\frac {3\cdot 10^{9}}{7}}<428571429\,$

und mit Division durch ${}10^{9}$ ergibt sich

${}0{,}428571428<{\frac {3}{7}}<0{,}428571429\,.$

Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches ${}{\frac {3}{7}}$ mit einem Fehler, der kleiner als ${}{\frac {1}{10^{9}}}$ ist.