Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

auffassen, wobei die Einsen an der -ten, -ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe

Nach Fakt konvergiert dies gegen

wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
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