Reelle Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir beschränken uns auf den Fall und . Es sei eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen konvergiert, und es sei eine rationale streng wachsende positive Folge, die gegen konvergiert. Dann konvergiert nach Fakt  (2) die Folge gegen . Somit konvergiert auch gegen . Wegen

für rationale Argumente ist also noch zu zeigen, dass gegen konvergiert. Sei dazu ein positives vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gegen gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wegen der Stetigkeit von , die für jedes auf der Stetigkeit des Potenzierens und des Wurzelziehens beruht, und wegen der Konvergenz von gegen , gibt es wegen der Folgenstetigkeit zu jedem ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Insgesamt ist also für (dabei gehöre zu ) wegen der Monotonie

und somit

Zur gelösten Aufgabe