Beweis
Unter den Voraussetzungen wird die
Taylor-Formel
zu
-

mit
(abhängig von
)
zwischen
und
.
Je nachdem, ob
oder
ist, gilt auch
(wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der
-ten Ableitung)
bzw.
für
für ein geeignetes
.
Für diese
ist auch
,
sodass das Vorzeichen von
vom Vorzeichen von
abhängt.
Bei
gerade ist
ungerade und daher wechselt
das Vorzeichen bei
(bei
ist das Vorzeichen negativ und bei
ist es positiv).
Da das Vorzeichen von
sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von
. Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun
ungerade. Dann ist
gerade, sodass
für alle
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
,
dass
ist und in
ein
isoliertes Minimum
vorliegt, und bei
,
dass
ist und in
ein
isoliertes Maximum
vorliegt.