Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt/Beweis

Beweis

Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu

$f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

mit $c$ (abhängig von $x$) zwischen $a$ und $x$. Je nachdem, ob $f^{(n+1)}(a)>0$ oder $f^{(n+1)}(a)<0$ ist, gilt auch (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der $(n+1)$-ten Ableitung) $f^{(n+1)}(x)>0$ bzw. $f^{(n+1)}(x)<0$ für  $x\in [a-ϵ,a+ϵ]$  für ein geeignetes  $ϵ>0$.  Für diese $x$ ist auch  $c\in [a-ϵ,a+ϵ]$,  sodass das Vorzeichen von $f^{(n+1)}(c)$ vom Vorzeichen von $f^{(n+1)}(a)$ abhängt.
Bei $n$ gerade ist $n+1$ ungerade und daher wechselt $(x-a{)}^{n+1}$ das Vorzeichen bei  $x=a$  (bei $x<a$ ist das Vorzeichen negativ und bei $x>a$ ist es positiv). Da das Vorzeichen von $f^{(n+1)}(c)$ sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von $f(x)-f(a)$. Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Es sei nun $n$ ungerade. Dann ist $n+1$ gerade, sodass  $(x-a{)}^{n+1}>0$  für alle  $x\ne a$  in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei  $f^{(n+1)}(a)>0$,  dass  $f(x)>f(a)$  ist und in $a$ ein isoliertes Minimum vorliegt, und bei  $f^{(n+1)}(a)<0$,  dass  $f(x)<f(a)$  ist und in $a$ ein isoliertes Maximum vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage