Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe

Für ist . Für kann man geschickt klammern und erhält

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Fakt im angegebenen Intervall streng fallend, so dass es nur eine Nullstelle gibt. Für gilt


Zur bewiesenen Aussage