Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}.$

Für  $x=0$  ist  $\cos 0=1$.  Für  $x=2$  kann man geschickt klammern und erhält

$\begin{array}{cc}\cos 2& =1-\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!}-\frac{2^6}{6!}+\frac{2^8}{8!}-\dots \\ & =1-\frac{2^2}{2!}(1-\frac{4}{3\cdot 4})-\frac{2^6}{6!}(1-\frac{4}{7\cdot 8})-\dots \\ & =1-2(2/3)-\dots \\ & \le -1/3.\end{array}$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt

${\cos }^{\prime }x=-\sin x.$

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall $]0,2[$ positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Fakt im angegebenen Intervall streng fallend, sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für  $x\in ]0,2]$  gilt

$\begin{array}{cc}\sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots \\ & =x(1-\frac{x^2}{3!})+\frac{x^5}{5!}(1-\frac{x^2}{6\cdot 7})+\dots \\ & \ge x(1-\frac{4}{3!})+\frac{x^5}{5!}(1-\frac{4}{6\cdot 7})+\dots \\ & \ge x/3\\ & >0.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage