Beweis
Wir betrachten die
Kosinusreihe
-
Für
ist
.
Für
kann man geschickt klammern und erhält
Nach dem
Zwischenwertsatz
gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die
Ableitung
des Kosinus, diese ist nach
Fakt
-
Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach
Fakt
im angegebenen Intervall
streng fallend,
sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für
gilt