Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Lokale Stammfunktionen/Garbe/Ausbreitungsraum/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}{\mathcal {S}}$ die zugehörige Garbe der lokalen Stammfunktionen aus Fakt und sei ${}A_{\omega }$ der zugehörige Ausbreitungsraum. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die natürliche Projektion

   $p\colon A_{\omega }\longrightarrow M$

   ist eine surjektive Überlagerung.

2. Durch

   ${}F(P,f):=f(P)\,$

   ist eine differenzierbare Funktion auf ${}A_{\omega }$ gegeben.

3. Auf ${}A_{\omega }$ ist

   ${}dF=p^{*}\omega \,.$

   Insbesondere ist ${}p^{*}\omega$ exakt.

4. Zu einem stetigen differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ist

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\tilde {\gamma }}p^{*}\omega =F({\tilde {\gamma }}(b))-F({\tilde {\gamma }}(a))\,,$

   wobei ${}{\tilde {\gamma }}$ eine Liftung von ${}\gamma$ nach ${}A_{\omega }$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen