Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Direkte Summe/Definition

Direkte Summe von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}(x,v,w):=\left(x,\,\alpha _{j}(\alpha _{i}^{-1}(x,v)),\,\beta _{j}(\beta _{i}^{-1}(x,w))\right)\,$

die direkte Summe der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}E\oplus F$ bezeichnet.