Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Divisionsalgorithmus als Spezialfall/Bemerkung

Das Rekursionsschema aus Fakt zur Berechnung der Ziffernentwicklung ist eine Verallgemeinerung des Divisionsalgorithmus für ${}a:b$, mit dem man die Ziffernentwicklung einer rationalen Zahl bestimmt. Wir beschränken uns auf ${}a<b$, die Ziffernentwicklung beginnt also mit ${}0,$. Zur Bestimmung der ersten Nachkommaziffer schaut man, wie oft ${}b$ in ${}10a$ hineingeht, also welches ganzzahlige Vielfache von ${}b$ noch unterhalb von ${}10a$ liegt. Der zugehörige Faktor (und dieser ist ${}\left\lfloor {\frac {10a}{b}}\right\rfloor$) ist zwischen ${}0$ und ${}9$ und ergibt die erste Nachkommaziffer von ${}{\frac {a}{b}}$. Dann subtrahiert man von ${}10a$ das soeben bestimmte maximal ganzzahlige Vielfache und erhält als Differenz eine ganze Zahl zwischen ${}0$ und ${}b-1$. Diese multipliziert man wieder mit ${}10$ und führt die gleiche Überlegung durch.

Für eine rationale Zahl ${}x={\frac {a}{b}}$ (${}0\leq a<b$) besitzt das Schema aus Fakt die Eigenschaft, dass ${}s_{i}={\frac {r_{i}}{b}}$ selbst ein Bruch mit ${}b$ als Nenner ist und wobei ${}r_{i}$ der Rest bei Division von ${}a10^{i}$ durch b ist. Durch Induktion nach ${}i$ zeigt man nämlich die Beziehung

${}a10^{i}=bq_{i}+r_{i}\,$

und

${}q_{i}=\sum _{j=1}^{i}z_{j}10^{i-j}\,,$

siehe Aufgabe.