Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}s={\operatorname {sup} \,{\left(A\right)}}\in T$.  Zu jedem  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  gibt es Elemente ${}x_{n}\in A$, ${}x_{n}\leq s$, und mit  ${}s-x_{n}\leq {\frac {1}{n}}$.  Andernfalls wäre nämlich ${}s-{\frac {1}{n}}$ eine kleinere obere Schranke von ${}A$. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert also gegen  ${}s\in T$  und aufgrund von Fakt ist  ${}s\in A$. 

Zur bewiesenen Aussage