Reelle Zahlen/Abgeschlossen in Teilmengen/Supremum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}s={\operatorname {sup} \,(A)}\in T$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es Elemente ${}x_{n}\in A$, ${}x_{n}\leq s$ und mit ${}s-x_{n}\leq {\frac {1}{n}}$. Andernfalls wäre nämlich ${}s-{\frac {1}{n}}$ eine kleinere obere Schranke von ${}A$. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert also gegen ${}s\in T$ und aufgrund von Fakt ist ${}s\in A$.

Zur bewiesenen Aussage