Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ sei durch

a_{0} \leq x_{n} \leq b_{0}

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist $I_{0} := [a_{0}, b_{0}]$ . Es sei das $k$ -te Intervall $I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

[a_{k}, \frac{a_{k} + b_{k}}{2}] und [\frac{a_{k} + b_{k}}{2}, b_{k}] .

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall $I_{k + 1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

x_{n_{k}} \in I_{k}

mit $n_{k} > n_{k - 1}$ . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl

x

.

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