Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die Intervallhalbierung ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist. Zu einer Dezimalbruchfolge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

gehört die Intervallschachtelung

${}I_{n}=[{\frac {a_{n}}{10^{n}}},{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}]\,.$

Hier ist ${}x_{n}$ der untere Rand des Intervalls ${}I_{n}$ und es gilt ${}x_{n+1}\in I_{n}$ (und wobei zusätzlich ausgeschlossen ist, dass ${}x_{n+1}$ der rechte Rand von ${}I_{n}$ ist). Die Intervalllängen sind hier ${}{\frac {1}{10^{n}}}$.

Satz

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$.

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Genauer gilt, dass bei einer Intervallschachtelung sowohl die Folge der unteren Intervallgrenzen als auch die Folge der oberen Intervallgrenzen gegen ein und dieselbe Zahl konvergieren. Ebenso konvergiert jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}x_{n}\in I_{n}$ gegen diesen Grenzwert, siehe Aufgabe.