Sei zuerst
kein Intervall. Wenn
leer ist, so ist
nach Definition nicht zusammenhängend. Sei also
, aber kein Intervall. Dann gibt es nach
Aufgabe
und
mit
-
Dann ist die Menge
-
sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
in
, da man
sowohl als Durchschnitt von
mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen
und
ist sie weder
noch
,
also ist
nicht zusammenhängend.
Sei nun
ein nichtleeres Intervall und
sei angenommen, dass es eine Teilmenge
mit
gibt, die in
sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei
und
,
.
Wir betrachten das
(abgeschlossene und beschränkte)
Intervall
(ohne Einschränkung sei
)
und setzen
. Dies ist eine in
offene und abgeschlossene Teilmenge von
, die wegen
nicht leer ist und wegen
nicht ganz
ist. D. h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall
zu zeigen. Wir betrachten die reelle Zahl
, die wegen
Fakt
existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört
zu
und aufgrund von
Fakt
ist
. Da
aber auch offen in
ist, gibt es ein
mit
. Da
das Supremum von
ist, folgt
. Die gleiche Argumentation für
ergibt
, ein Widerspruch.