Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst ${}T$ kein Intervall. Wenn ${}T$ leer ist, so ist ${}T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also ${}T\neq \emptyset$, aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe ${}x,z\in T$ und ${}y\notin T$ mit

${}x<y<z\,.$

Dann ist die Menge

${}A=T\cap {]{-\infty },y[}=T\cap {]{-\infty },y]}\,$

sowohl offen als auch abgeschlossen in ${}T$, da man ${}A$ sowohl als Durchschnitt von ${}T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen ${}x\in A$ und ${}z\notin A$ ist sie weder ${}\emptyset$ noch ${}T$, also ist ${}T$ nicht zusammenhängend.
Es sei nun ${}T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge ${}A\subseteq T$ mit ${}A\neq \emptyset ,T$ gibt, die in ${}T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei ${}x\in A$ und ${}y\in T$ , ${}y\not \in A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall ${}I=[x,y]\subseteq T$ (ohne Einschränkung sei ${}x<y$) und setzen ${}A'=A\cap [x,y]$. Dies ist eine in ${}I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von ${}I$, die wegen ${}x\in A'$ nicht leer ist und wegen ${}y\notin A'$ nicht ganz ${}I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ${}I=[x,y]$ zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge ${}A$ mit ${}x\in A$ und ${}y\notin A$ gibt. Wir betrachten die reelle Zahl ${}s={\operatorname {sup} \,(A)}$, die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört ${}s$ zu ${}I$ und aufgrund von Fakt ist ${}s\in A$. Da ${}A$ aber auch offen in ${}T$ ist, gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$. Da ${}s$ das Supremum von ${}A$ ist, folgt ${}s=y$. Dies ist ein Widerspruch zu ${}y\notin A$.

Zur bewiesenen Aussage