Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst $T$ kein Intervall. Wenn $T$ leer ist, so ist $T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also  $T\ne \mathrm{\varnothing }$,  aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe  $x,z\in T$  und  $y\notin T$  mit

$x<y<z.$

Dann ist die Menge

$A=T\cap ]-\mathrm{\infty },y[=T\cap ]-\mathrm{\infty },y]$

sowohl offen als auch abgeschlossen in $T$, da man $A$ sowohl als Durchschnitt von $T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen $x\in A$ und $z\notin A$ ist sie weder $\mathrm{\varnothing }$ noch $T$, also ist $T$ nicht zusammenhängend.
Es sei nun $T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge  $A\subseteq T$  mit  $A\ne \mathrm{\varnothing },T$  gibt, die in $T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei  $x\in A$  und $y\in T$ , $y\in ̸A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall  $I=[x,y]\subseteq T$  (ohne Einschränkung sei $x<y$) und setzen  $A^{\prime }=A\cap [x,y]$.  Dies ist eine in $I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von $I$, die wegen  $x\in A^{\prime }$  nicht leer ist und wegen  $y\notin A^{\prime }$  nicht ganz $I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall  $I=[x,y]$  zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge $A$ mit  $x\in A$  und  $y\notin A$  gibt. Wir betrachten die reelle Zahl  $s=\sup \left(A\right)$,  die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört $s$ zu $I$ und aufgrund von Fakt ist  $s\in A$.  Da $A$ aber auch offen in $T$ ist, gibt es ein  $\delta >0$  mit  $[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$.  Da $s$ das Supremum von $A$ ist, folgt  $s=y$.  Dies ist ein Widerspruch zu  $y\notin A$. 

Zur bewiesenen Aussage