Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei zuerst kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Sei also , aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe und mit

Dann ist die Menge

sowohl offen als auch abgeschlossen in , da man sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen und ist sie weder noch , also ist nicht zusammenhängend.
Sei nun ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge mit gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei und  , . Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall (ohne Einschränkung sei ) und setzen . Dies ist eine in offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen nicht leer ist und wegen nicht ganz ist. D. h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall zu zeigen. Wir betrachten die reelle Zahl , die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört zu und aufgrund von Fakt ist . Da aber auch offen in ist, gibt es ein mit . Da das Supremum von ist, folgt . Die gleiche Argumentation für ergibt , ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage