Es sei
beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine
Cauchy-Folge
ist. Zu gegebenem
sei
derart, dass
-

Für
ist dann
-

da ja
ist. Es sei
der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
für ein
, so wäre
-

(oder
),
doch wegen der Konvergenz der Folge gegen
würden dann auch die Folgenglieder für
hinreichend groß echt unterhalb von
und damit von
liegen, im Widerspruch zu
.
Also ist
.
Würden zwei Zahlen
zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
-

für alle

im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen

konvergieren.