Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}x_{n}\in I_{n}=[a_{n},b_{n}]$  beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem  ${}\epsilon >0$  sei ${}n_{0}$ derart, dass

${}b_{n_{0}}-a_{n_{0}}\leq \epsilon \,.$

Für  ${}m\geq n\geq n_{0}$  ist dann

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq b_{n}-a_{n}\leq \epsilon \,,$

da ja  ${}x_{m},x_{n}\in I_{n}$  ist. Es sei ${}x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre  ${}x\notin I_{m}$  für ein ${}m$, so wäre

${}x<a_{m}\,$

(oder $x>b_{m}$), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen ${}x$ würden dann auch die Folgenglieder für ${}n$ hinreichend groß echt unterhalb von ${}a_{m}$ und damit von ${}a_{n}$ liegen, im Widerspruch zu  ${}x_{n}\in I_{n}$.  Also ist  ${}x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$.  Würden zwei Zahlen  ${}x<y$  zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

${}y-x\leq b_{n}-a_{n}\,$

für alle ${}n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen ${}0$ konvergieren.

Zur gelösten Aufgabe