Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Respektiert/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper ${}M$ das Cauchy-Folgen-Modell ${}C/N$ der reellen Zahlen ist, wobei ${}C$ den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und ${}N$ das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit ${}K$ bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen, und eine jede Abbildung, die die Multiplikation und die Addition (und insbesondere die ${}0$ und die ${}1$) respektiert, respektiert auch die Quadrate. In einem vollständig angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente genau die Quadrate, deshalb muss eine solche Abbildung auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in ${}M$ nach Konstruktion und Fakt jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in ${}K$ wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung ansetzen muss. Ein Element ${}x\in M$ werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Folge konvergiert in ${}K$ gegen ein ${}y$ und man setzt ${}\varphi (x)=y$. Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere repräsentierende Cauchy-Folge ${}{\left(x'_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nimmt, so ist die Differenz zu ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und dann konvergieren die beiden Folgen in ${}K$ gegen das gleiche Element.

Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}C&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\\&\!\!\!\!\!\psi \searrow &\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\&&K&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei ${}\psi$ eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in ${}K$ abbildet. Nach Fakt respektiert diese Abbildung Addition und Multiplikation. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, respektiert auch ${}\varphi$ die Verknüpfungen.

Die Injektivität gilt für jede Abbildung zwischen Körpern, die die Verknüpfungen respektiert. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}y\in K$. Nach Fakt gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen ${}y$ konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu ${}C$ und definiert ein Element in ${}M$, das durch ${}\varphi$ auf ${}y$ abgebildet wird. Insgesamt ist also ${}\varphi$ eine bijektive Abbildung, die die Verknüpfungen respektiert.

Zur bewiesenen Aussage