Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt/Beweis

Beweis

Das reelle normierte Polynom $P \in ℝ [X]$ zerfällt über den komplexen Zahlen $ℂ$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist

P = \prod_{j} (X - λ_{j})

mit $λ_{j} = a_{j} + b_{j} i \in ℂ$ . Da $P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt

\prod_{j} (X - λ_{j}) = P = \overline{P} = \prod_{j} (X - \overline{λ_{j}}) .

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem $j$ ein $k$ mit

\overline{λ_{j}} = λ_{k} .

D.h. entweder, dass $λ_{j} \in ℝ$ ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber $j \neq k$ und dann ist

(X - λ_{j}) (X - \overline{λ_{j}}) = (X - a_{j} - b_{j} i) (X - a_{j} + b_{j} i) = X^{2} - 2 a_{j} X + a_{j}^{2} + b_{j}^{2}

ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von $P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Es sei nun $ℝ \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Es sei $ℝ \subset L$ und $x \in L$ , $x \in̸ ℝ$ . Dann ist $x$ algebraisch über $ℝ$ und nach Fakt ist $ℝ [x] ≅ ℝ [X] / (P)$ mit einem irreduziblen Polynom $P$ (dem Minimalpolynom zu $x$ ). Das Polynom $P$ besitzt in $ℂ$ Nullstellen, sodass es einen $ℝ$ -Algebrahomomorphismus $ℝ [X] / (P) \to ℂ$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung $ℂ \subseteq L$ . Da $ℂ$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe $ℂ = L$ sein.

Zur bewiesenen Aussage